Para un triángulo cualquiera, tenemos las siguientes definiciones.
Definición. 4..1.1 La mediana es el segmento de recta trazado del punto medio de un lado al vértice opuesto.
La altura es el segmento de recta perpendicular a un lado o a su prolongación y va al vértice opuesto.
La bisectriz es la recta que sale de un vértice y divide al ángulo interior en dos partes iguales.
La mediatriz es la recta que pasa por el punto medio de un lado y es perpendicular a el.
Teorema 4.1.1 Si un triangulo tiene dos de sus lados iguales, entonces tiene dos ángulos iguales, los ángulos opuestos a dichos lados.
Demostración. Sea ABC un triangulo que tiene dos lados iguales AB= AC.
emostraremos Que Ð B = Ð C.
Sea M el punto medio del lado BC, tracemos la mediana MA. Afirmamos que ΔABM ≅ ΔACM. En efecto, tenemos que por hipótesis AB =AC y BM =MC por ser M punto medio de BC, además AM es el lado común para ambos triángulos. Por el criterio L.L.L., ΔABM ≅ ΔACM y por lo tanto tienen congruentes los ángulos. Así ÐB=Ð C.
Además podemos observar que, en el caso del teorema
1. El segmento AM es mediana.
2. El segmento AM es mediatriz pues M es el punto medio de BC y además como Ð4 + Ð5 = 180º y Ð4= Ð5 entonces Ð4= Ð5=90º.
3. El segmento AM es altura, puesto que vimos que Ð4=Ð5=90º y además AM toca el vértice A.
4. El segmento AM es la bisectriz ya que divide al ángulo ÐA en dos ángulos iguales, pues podemos ver que A =Ð1 + Ð2 y Ð1=Ð2.
Corolario 4.1.2 Todo triangulo equilátero tiene sus ángulos interiores iguales.
Ejercicio 4.1.1 Si un triangulo tiene dos de sus ángulos iguales , entonces tiene dos de sus lados iguales, los lados opuestos a dichos ángulos.
Solución. Consideremos el triangulo ABC, en donde ÐABC = ÐACB. Demostraremos que AB= AC. Tracemos la altura desde el vértice A y llamemos D a su pie en el segmento BC.
De esta manera ÐADB= 90º = ÐADC Después, por el criterio A.A. podemos garantizar que los triangulos ΔADB y ΔADC son semejantes. Y como tales triángulos comparten el lado AD, la razón de semejanza es uno, en otras palabras los triángulos son congruentes se sigue que
AB= AC.
Una consecuencia inmediata de este ejercicio es que un triangulo con todos sus ángulos interiores iguales es equilátero.
Teorema 4.1.3 Si en un triangulo una misma recta hace a la vez dos de las funciones de
1 mediatriz,
2 bisectriz,
3 altura,
4 mediana,
relativas a un mismo lado, entonces hace las otras dos funciones y el triangulo es isósceles siendo su base dicho lado.
Demostración . Tenemos seis casos posibles.
Caso1.
Consideremos un triangulo ΔABC tal que la recta AD es una que tiene las funciones de mediatriz y bisectriz.
Por ser AD mediatriz, D es el punto medio de BC y AD es perpendicular a BC; además por ser AD bisectriz, ÐBAD= ÐDAC.
De esta manera, tenemos que
1.Como AD y BC son perpendiculares y AD toca A, entonces AD es altura.
2.Ya que D es el punto medio de BC y AD toca A, entonces AD es mediana.
3.Por criterio L.A.L. BDA ≅ ADC , pues BD = DC, ÐBDA =90º = ÐADC y AD es común a los dos triángulos. Por lo tanto ÐB=ÐC y BA =AC. De donde tenemos que ΔABC es isósceles.
Caso 2.
Supongamos que la recta AD es mediatriz y altura del triangulo ΔABC.
Como AD es mediatriz de ABC entonces D es el punto medio BC. Por otro lado AD es perpendicular a BC, y como además AD el altura, tal segmento toca a A.
Por lo tanto
1.D es punto medio de BC y AD toa a A, de donde DA es mediana.
2.Por el criterio L.A.L., como BD=DC, ÐBDA= ÐADC y AD=AD , entonces ΔADB ≅ ΔADC. Por lo tanto ÐBAD= ÐDAC, de donde AD es bisectriz.
3.Como ΔADB ≅ ΔADC entonces BA= AC y ÐB=ÐC. Se sigue que ΔABC es Isósceles.
Caso 3.
Supongamos que AD es mediatriz y mediana del triangulo ΔABC.
Por un lado, como AD es mediatriz entonces D es el punto medio de BC y además AD es perpendicular a BC. Por otro lado, al ser AD mediana, tenemos de nuevo que D es el punto medio de BC, pero además sabemos que AD toca a A.
De esta manera tenemos lo siguiente
1.Como AD es perpendicular a BC y AD toca a A entonces AD es altura.
Por el criterio L.A.L ΔABD ≅ ΔADC, lo que implica que ÐBAD= ÐDAC. Luego AD es bisectriz.
3.Como ΔABD ≅ ΔADC entonces ΔABC es isósceles.
Se dejan como ejercicio las demostraciones de los otro tres casos.
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