Teorema 4.2.4 El lugar geométrico de todos los puntos del plano que equidistan de dos puntos fijos distintos pertenecientes al mismo plano, es justame

Teorema 4.2.4 El lugar geométrico de todos los puntos del plano que equidistan de dos puntos fijos distintos pertenecientes al mismo plano, es justamente la mediatriz del segmento determinado por estos puntos.

Demostración. Sean A y B dos puntos distintos en el plano, sea g el lugar geométrico g = {P: PA=PB }y sea m la mediatriz del segmento AB.

Tenemos que demostrar que g=m. Para esto procederemos por casos demostrando que ambos conjuntos se contienen mutuamente, es decir que g∈ m y que m∈g.
Primeramente vamos a ver que g∈ m. Tomemos P∈ g, entonces por la definición de g, AP =PB.
Considerando P∉ AB tenemos que P es punto medio de AB esto es P∉ m. Ahora, si P ∉AB entonces el triangulo ΔAPB es isósceles pues AP = PB y como m es mediatriz de ΔAPB entonces m es mediana y pasa por P. Así P∈ m.


Como en ambos casos, ya sea que P este o no sobre el segmento AB, tenemos que P∈ m. Se sigue que g ∈m.
Para demostrar que m ∈g tomemos inicialmente P∈ m.
Si P∈ AB entonces P es punto medio de AB y de esta forma PA=PB . De aquí que P∈ g. Y si por el contrario, P ∉AB, entonces m es mediatriz y mediana del ΔAPB relativa al lado AB. Por lo tanto el triangulo ΔAPB es isósceles con base AB. De esta manera AP=PB, es decir P∈ g.


Así podemos concluir que siempre P∈ g. Por lo tanto m∈ g.