1.3 Problemas

1. ¿Cuánto vale cada uno de los ángulos interiores de un heptágono regular?
2. Encontrar una fórmula para determinar el valor de cada uno de los ángulos interiores de un n-ágono regular.
3. Los punto A, B, C, D, E, F, y G son los vértices de un heptágono regular, colocados en el sentido de las manecillas del reloj, FE y BC se prolongan hasta cortarse en el punto P.¿Cuanto vale el ángulo CPE?
4. En un rectángulo ABCD, M y N son los puntos medios de BC y CD, P es la intersección de DM y BN. Probar que los ángulos MAN y BPM son iguales.

1.2 Rectas cortadas por una secante

Consideremos un sistema de dos rectas cortadas por una secante o transversal. En este caso tenemos, para cada intersección, un sistema de dos rectas que se cortan entre si, obteniendo de esta manera varios ángulos opuestos por el vértice y adyacentes, correspondientes a cada intersección. Pero también podemos clasificar los ángulos de acuerdo a la posición que ocupan con respecto a los sistemas adyacentes.

Teorema 1.2.1 (Teorema directo) En todo sistema de dos rectas paralelas cortadas por una secante, se tiene que

1. Los ángulos correspondientes son iguales
2 .Los ángulos alternos son iguales
3. Los ángulos colaterales son suplementarios

Debemos sobreentender que al decir ángulos iguales nos referimos a que son iguales entre sí; y de manera análoga para los ángulos complementarios.

Teorema 1.2.2 (Teorema inverso) En un sistema de dos rectas cortadas por una secante, basta que haya

1. Un par de ángulos correspondientes iguales, o bien,
2. algún par de ángulos alternos iguales, o bien
3. algún par de ángulos colaterales suplementarios,
para que esas dos rectas sean paralelas.

Por lo tanto, cualquiera de las res alternativas mencionadas en el teorema 1.2.2 (Teorema inverso), implica los incisos 1,2 y 3 del teorema (1.2.1) (teorema directo).
Este par de teoremas aunque aparentemente inofensivo resultará muy importante pues se aplica en muchos resultados, como veremos a continuación.

Llamaremos triángulo al espacio limitado por tres rectas que se cortan.

Teorema 1.2.3 La suma de los tres ángulos interiores de cualquier triángulo es igual a 180°.
Demostración. Sea ABC un triángulo cualquiera. Tracemos una recta paralela al segmento BC que pase por A.

Sabemos que ÐD + ÐA + ÐE = 180°.Por lo tanto tenemos ÐD=Ð B por ser ángulos alternos internos, y por la misma razón ÐE= ÐC.
Sustituyendo los valores deÐ D y Ð E en la primera igualdad obtendremos el resultado.

Definición 1.2.1 Un ángulo exterior de un triángulo es el formado por el lado del triángulo y la prolongación de otro.

Corolario 1.2.4 En todo triángulo cada ángulo exterior es igual a la suma de los dos interiores que no le son adyacentes, es decir que le son opuestos.

Demostración. Consideremos un triángulo cualquiera ABC.

Por el teorema (1.2.3) Ð A + ÐB + ÐC = 180°; y como ÐE + ÐB = 180°, entonces ÐE= AÐ+ ÐC.

Corolario 1.2.5 La suma de los tres ángulos exteriores (uno en cada vértice) de cualquier triángulo, es igual a 360°.

Demostración. Sea ABC un triángulo cualquiera.

Sean los ángulos exteriores ÐD, ÐE y ÐF. Así, por el corolario (1.2.4), tenemos las siguientes identidades:

ÐD = ÐB+ÐC,
ÐE = ÐA+ÐC,
ÐF = ÐA +ÐB,

de esta manera
ÐD + ÐE+ ÐF= 2(ÐA + ÐB+ ÐC)= 2(180°).
Por lo tanto
ÐD + ÐE+ ÐF= 360°.

Capitulo1: Ángulos

Dadas dos rectas en el plano estas éstas coinciden o son distintas. En este último caso se cortarán en un único punto o no se cortan.
Cuando varias rectas pasan a través de un mismo punto decimos que ellas son concurrentes.

1.1 Rectas que se cortan entre sí

Definición 1.1.1 Un ángulo es la abertura formada por dos semirrectas con un mismo origen llamado vértice. La bisectriz de un ángulo es la semirrecta que tiene como origen el vértice del ángulo y divide a éste en dos ángulos iguales.


Un ángulo recto es aquel que mide 90°.
En el plano, dos puntos distintos determinan una única recta; la que pasa por ellos. Mientras que dos rectas distintas no paralelas, determinan un único punto; el que pertenece a ambas.
Decimos que dos ángulos son adyacentes cuando tienen un mismo vértice y un lado común y son exteriores el uno al otro.


Definición 1.1.2 Dos ángulos son complementarios y cada uno es el complemento del otro, cuando su suma es un ángulo recto.
Dos ángulos son suplementarios, y cada uno es el suplemento del otro, cuando su suma es dos ángulos rectos.

Cuando una recta encuentra a otra formando con ella ángulos adyacentes iguales, estos ángulos serán rectos.
Supongamos que tenemos dos rectas que se cortan entre sí, el punto de intersección será un vértice común a cuatro ángulos. Para tal caso tenemos la siguiente clasificación para los ángulos en cuanto a la posición que ocupan con respecto al punto de intersección de las rectas.












Dos ángulos son opuestos por el vértice cuando los lados de uno son las prolongaciones de los del otro.

En todo sistema de dos rectas que se cortan, tenemos que :

1. Los ángulos adyacentes son suplementarios,
2. Los ángulos opuestos por el vértice son iguales.

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