sábado, 27 de octubre de 2012

Álgebra – Preliminares II

Coeficiente.
 Es el producto de 2 factores, cualquiera de los factores es llamado coeficiente del otro factor.

Así en el producto 3a el factor 3 es el coeficiente del factor a e indica que el factor a se toma como sumando 3 veces, o sea 3a = a +a +a; en el producto 5b, el factor 5 es coeficiente de b, e indica que 5b = b+ b + b + b+ b. Estos son coeficientes numéricos.

En el producto ab, el factor a es coeficiente del factor b, e indica que el factor b se toma como sumando a veces, osea ab = b+b+b+b… (a veces). Este es un coeficiente literal.
Cuando una cantidad no tiene coeficiente numérico su coeficiente es la unidad. Así b equivale a 1b; abc equivale a 1abc.


Signos de relación.
Se emplean estos signos para indicar la relación que existe entre dos cantidades. Los principales son:

= que se lee igual a. Así a=b se lee “a  igual a b”

> que se lee mayor que. Así y +x > m se lee “x + y mayor que m”
<, que se lee menor que. Así, a < b + c se lee “a menor que b+c”.


Signos de agrupación.

Los signos de agrupación son: el paréntesis ordinario (), el paréntesis angular o corchete  [ ], las llaves $\left\{{}\right\}$y la barra o vinculo —.

Estos signos indican que la operación colocada entre ellos debe efectuarse primero. Así (a+b) c indica que el resultado de la suma de a y b debe multiplicarse por c; [ a-b]m indica que la diferencia entre a y b debe multiplicarse por m; {a+b} ÷ {c-d} indica que la suma de a y b debe dividirse entre la diferencia de c y d.

 

Estos signos indican que la operación colocada entre ellos debe efectuarse primero. Así (a+b) c indica que el resultado de la suma de a y b debe multiplicarse por c; [a-b] m indica que la diferencia entre a y b debe multiplicarse por m; {a+b} ÷ {c-d} indica que la suma de a y b debe dividirse entre la diferencia de c y d.
Modo de resolver los problemas en aritmética y en algebra.
Exponemos a continuación un ejemplo para hacer notar la diferencia entre el método aritmético y el algebraico en la resolución de problemas, fundado este último en la notación algebraica y en la generalización que esta implica.
Las edades de A y B suman 48 años. Si la edad de A y B suman 48 años. Si la edad de B es 5 veces la edad de A, ¿Qué edad tiene cada uno?
Método aritmético.
Edad de A más edad de B = 48 años.
Como la edad  de B es 5 veces la edad de A, tendremos:
Edad de A más 5 veces la edad de A = 48 años.
O sea, 6 veces la edad de A =48 años;
Luego, Edad de A = 8 años
Edad de B = 8 x 5 años = 40 años.

Método algebraico
Como la edad de A es una cantidad desconocida la represento por X.
Sea x = edad de A.
Entonces 5 x = edad de B.
Como ambas edades suman 48 años tendremos:
X + 5x = 48 años;
Ósea 6x= 48 años.
Si 6x equivale a 48 años, x valdra la sexta parte de 48 años
Ósea x = 8 años, edad de A
Entonces 5 x = 8 años x 5 = 40 años, edad de B.


Cantidades positivas y negativas.
 En álgebra  cuando se estudian cantidades que pueden tomarse en sentidos opuestos o que son de condición o modo de ser opuestos, se expresa el sentido, condición o modo de ser (valor relativo) de la cantidad por los signos + y    - anteponiendo el signo + a las cantidades tomadas en un sentido determinado (cantidades positivas) y anteponiendo el signo - a las cantidades tomadas en sentido opuesto al anterior (cantidades negativas).

Así el haber se designa con el signo más y las deudas con el signo -. Para expresar que una persona tiene $\$$ 100.oo de haber, diremos que tiene + 100.00 y para expresar que debe $\$$100.oo diremos que tiene -100.00.
Los grados sobre cero en el termómetro se designan con el signo + y los grados bajo cero con el signo -. Así para indicar que el termómetro marco 10 ° sobre cero escribiremos +10 ° y para indicar que marca 8° bajo cero escribiremos -8.
El camino recorrido hacia la derecha o hacia arriba de un punto se designa con el signo + y el camino recorrido hacia la izquierda o hacia debajo de un punto se representa con el signo -. Así, si hemos recorrido 200 m a la derecha de un punto dado, diremos que hemos recorrido + 200 m, y si recorremos 300 m a la izquierda de un punto dado escribiremos -300 m.
El tiempo transcurrido después de Cristo se considera positivo y el tiempo transcurrido antes de Cristo se considera negativo. Así + 150 años significa 150 años D.C, Y -78 años significa 78 años A.C.
En un poste introducid en el suelo, representamos con el signo + la porción que se halla del suelo hacia arriba y con el signo -, la porción que se halla del suelo hacia abajo. Así para expresar que la longitud del poste que se halla del suelo hacia arriba mide 15 m, escribiremos + 15 m, y si la porción introducida en el suelo es de 8 m, escribiremos -8 m.
La latitud norte se designa con el signo + y la latitud sur con el signo - : la longitud este se considera positiva y la longitud oeste, negativa. Por lo tanto, un punto de la tierra cuya situación geográfica sea: +45 ° de longitud y -15°  de latitud se hallara a 45° al este del primer meridiano y 15° bajo el ecuador.

Elección del sentido positivo
La fijación del sentido positivo en cantidades que pueden tomarse en dos sentidos opuestos es arbitraria, depende de nuestra voluntad; es decir, que podemos tomar como sentido positivo el que queramos, pero una vez fijado el sentido positivo, el sentido opuesto a este será el negativo.
Así si tomamos como sentido positivo el camino recorrido a la derecha de un punto, el camino recorrido a la izquierda de ese punto será negativo, pero nada nos impide tomar como positivo  el camino recorrido a la izquierda del punto y entonces el camino recorrido a la derecha del punto sería el negativo.
No obstante, en la práctica generalmente se aceptan los sentidos positivos de que se trato más arriba.

Cero Es la ausencia de cantidad. Así, representar el estado económico de una persona por 0 equivale a decir que no tiene haber ni deudas.
Las cantidades positivas son mayores que 0 y las negativas menores que 0. Así, + 3 es una cantidad que es tres unidades mayores que 0; +5 es una cantidad que es cinco unidades mayor que 0, mientras que -3 es una cantidad que es tres unidades menor que 0 y -5  es una cantidad que es cinco unidades menor que 0.
De dos cantidades positivas, es mayor la de mayor valor absoluto; así +5  es mayor que +3, mientras que de dos cantidades negativas es mayor la de menor valor absoluto: -3 es mayor que -5 ; -9 es menor que -4.