El
concepto de número natural que satisface las
exigencias de la Aritmética elemental no responde a la generalización y
abstracción características de la operatoria algebraica.
En
álgebra se desarrolla un cálculo de validez general aplicable a cualquier tipo
especial de número. Conviene pues, considerar cómo se ha ampliado el campo de
los números por la introducción de nuevos entes, que satisfacen las leyes que
regulan las operaciones fundamentales, ya que, como veremos más adelante el
número natural no nos sirve para efectuar la resta y la división en todos los
casos. Baste por el momento, dado el nivel matemático que alcanzaremos a lo
largo de este texto, explicar cómo se ha
llegado al concepto de número real.
Para hacer más comprensible la ampliación del campo
de los números, adoptaremos un doble criterio. Por un lado, un criterio
histórico que nos haga conocer la gradual aparición d las distinta clases de
números; por otro, un criterio intuitivo que nos ponga de manifiesto cómo
ciertas necesidades materiales han obligado
a los matemáticos a introducir nuevos entes numéricos. Este doble criterio, permitirá al principiante
alcanzar una comprensión clara de
concepto formal (abstracto) de los números reales.
El número entero y el número fraccionario.
Mucho
antes de que los griegos (Eudoxio,
Euclides, Apolonio, etc.) realizaran la sistematización de los conocimientos
matemáticos, los babilonios (según muestran las tablillas cuneiformes que datan
de 2000-1800 A.C.) y los egipcios ( como se ve en el papiro de Rhind) conocían
las fracciones.
La
necesidad de medir magnitudes continuas tales como la longitud, el volumen, el
peso, etc., llevó al hombre a introducir los números fraccionarios.
Cuando
tomamos una unidad cualquiera, por ejemplo, la vara, para medir una magnitud
continua (magnitud escalar o lineal), puede ocurrir una de estas dos cosas: que
la unidad esté contenida un número entero de veces, o que no esté contenida un
número entero de veces. En el primer caso, representamos el resultado de la
medición con un número entero. En el segundo caso, tendremos que fraccionar la
unidad elegida en dos, en tres o en cuatro partes iguales; de este modo,
hallaremos una fracción de la unidad que este contenida en la magnitud que
tratamos de medir. El resultado de esta última medición lo expresamos con un
par de números enteros, distintos de cero, llamados respectivamente numerador y
denominador. El denominador nos dará en
el número de partes en que hemos dividido la unidad, y el numerador, el
número de subunidades contenidas en la magnitud que acabamos de medir. Surgen
de este modo los números fraccionarios. Son números fraccionarios ½, 1/3, 3/5, etc.
Podemos
decir también, que son números fraccionarios los que nos permiten expresar el
cociente de una división inexacta, o loo que es lo mismo, una división en la
cual el dividendo no es múltiplo del divisor.
Como
se ve, en oposición a los números fraccionarios tenemos los números enteros,
que podemos definir como aquellos que expresan el cociente de una división
exacta, como por ejemplo 1, 2, 3, etc.
El número racional y el número irracional.
Siguiendo
el orden histórico que nos hemos trazado, vamos a ver ahora cuándo y cómo
surgieron los números irracionales.
Es
indudable que fueron los griegos quienes conocieron primero los números
irracionales. Los historiadores de la matemática, están de acuerdo en atribuir
a Pitágoras de Samos (540 A.C.), el
descubrimiento de estos de estos números, al establecer la relación entre el
lado de un cuadrado y la diagonal del mismo. Más tarde, Teodoro de Cirene (400
A.C.), matemático de la escuela pitagórica, demostró geométricamente que √‾2, √‾3, √‾5, √‾7,
etc., son irracionales. Euclides (300 A.C.), estudió en el Libro X de sus 2Elementos”, ciertas magnitudes que al
ser medidas no encontramos ningún número entero ni fraccionario que las
exprese. Estas magnitudes se llaman inconmensurables y los números que se originan al medir tales
magnitudes se llaman irracionales. Ejemplos de tales magnitudes son la relación
del lado de un cuadrado con la diagonal del mismo, que se expresa con el número
irracional $\sqrt[]{a^2 + b^2}$ y la relación de la circunferencia al diámetro que se expresa con la letra $\pi = 3.141592...$
Como
consecuencia de la introducción de los
números irracionales, consideramos racionales el conjunto de los números
fraccionarios y el conjunto de los números enteros. Definimos el número
racional como aquel número que puede expresarse como cociente de dos enteros.
Y el número irracional como aquel número real que no puede expresarse como el
cociente de dos enteros. Llamamos
números reales al conjunto de los
números racionales e irracionales.
Los números positivos y negativos
Los números negativos no fueron conocido por los
matemáticos de la antigüedad, salvo en el caso de Diofanto (siglo III D.C.), que en su
aritmética, al explicar el producto de dos diferencias, introduce un número con
signo +. En el siglo VI, los
hindúes Brahmagupta y Bháskara usan los
números negativos de un modo práctico, sin llegar a dar una definición de
ellos. Durante la Edad Media y el Renacimiento los matemáticos rehuyeron usar
los números negativos, y fueron Newton el primero en comprender la verdadera
naturaleza de estos números. Posteriormente Harriot (1560-1621) introdujo los signos + y – para caracterizar los números positivos y negativos.
La significación de los números relativos o con signos (positivos
y negativos) se comprende claramente, cuando los utilizamos para representar el
resultado de medir magnitudes relativas, es decir , magnitudes cuyas cantidades
pueden tomarse en sentidos opuestos, tal como sucede cuando tratamos de medir
la longitud geográfica de un región determinada; o de expresar el grado de
temperatura de un lugar dado. En el primer caso, podemos hablar de longitud
este u oeste con respecto a un meridiano fijado arbitrariamente (Greenwich). En
el segundo caso, podemos referirnos a grados sobre cero o grados bajo cero.
Convencionalmente fijamos los números positivos o con signo + en una dirección y los números negativos o con signo - en la dirección opuesta.
Si sobre una semirrecta fijamos un punto cero, a
partir del cual, hacia la derecha, señalamos puntos que representan una determinada unidad, nos
resultan los puntos A, B, C, etc. Si sobre esa misma semirrecta, a partir del
punto cero (llamado origen), procedemos del mismo modo hacia la izquierda,
tendremos los puntos a, b, c, etc. Si convenimos en que los puntos de la
semirrecta indicado a la derecha del punto
cero representan números positivos
(A,B,C, etc.); los puntos señalados a la
izquierda (a, b, c, etc.), representarán números negativos.
Históricamente, los números negativos surgen para
hacer posible la resta de todos los casos. De este modo, la resta se convierte
en una operación inversa de la suma, y se hace posible restarle a un minuendo
menor un sustraendo mayor.
Los números y los símbolos literales negativos se
distinguen por el signo – que llevan antepuesto.
El número cero. Cuando tratamos de aprehender el concepto de número natural, vemos cómo
éste surge de la comparación de conjuntos equivalentes o coordinables entre sí.
Por extensión llamamos conjunto al que
tiene un solo elemento y que se representa por el número 1. Ahora, consideramos el número cero como
expresión de un conjunto nulo o vacío, es decir, un conjunto que carece de
elementos.
Por otra parte, el cero representa un elemento de
separación entre los números negativos y positivos, de modo que el cero es mayor que cualquier número negativo y menor que cualquier número positivo.
El siguiente diagrama nos aclarará las distintas clases de números con los cuales vamos a trabajar:
