La historia de las matemáticas.-Los babilonios

I. Los babilonios

Hasta el primer tercio de este siglo, los conocimientos que se poseían acerca de la matemática de los pueblos que habitaron la Mesopotamia: sumerios, acadios, babilonios, asirios… eran escasos y no revelaban mayor contenido científico.
Sin duda, ya había advertido la característica fundamental, entonces más bien sorprendente, que ofrecían los sistemas de numeración utilizados en los textos cuneiformes. En efecto, hacia el año 3.000 a. C. los sumerios introdujeron un sistema de numeración posicional de base 60, que en definitiva es el sistema sexagesimal que aun utilizamos nosotros para las medidas de tiempo y angulares.
En ese sistema las cifras de 1 a 59 se escribían de acuerdo con un arcaico sistema decimal aditivo, sobre la base de dos signos cuneiformes: uno vertical para la unidad y otro horizontal para el 10. Pero a partir de 60 y para las fracciones el sistema se torna posicional, las potencias sucesivas de 60, en orden creciente o decreciente, se representan por la unidad y cada conjunto numérico hasta 59 debe computarse 60 veces menor que el anterior.
La inexistencia de un signo para el cero, que no aparecerá hasta los tiempos helenísticos, así como de un signo que separe la parte entera de la fraccionaria, hace que el sistema no sea coherente para nosotros, aunque el contexto del problema, y a veces ocasionalmente ciertos signos especiales, impedían al calculista sumerio caer en equívocos.
Ya desde comienzos del siglo pasado (1906) se había revelado el carácter posicional del sistema sumerio al descifrarse textos cuneiformes con tablas de multiplicación, de recíprocos, de cuadrados…. Y algunos cálculos; pero fue recientemente con la labor de desciframiento que hicieron conocer Neugebauer (1935) y Thureau Dangin (1938) que esta matemática sexagesimal muestra su verdadera faz.
Los textos últimamente descifrados pertenecen al periodo babilónico (II milenio a. C.) aunque registran conocimientos de los sumerios del milenio anterior; la índole y la solución de las colecciones de problemas que aportan esos textos no solo justifican la necesidad de un sistema de numeración flexible como el posicional, sin el cual aquella solución hubiera sido imposible, sino que arrojan nueva luz sobre relaciones  entre matemática prehelénica y la matemática griega antigua, de manera que actualmente nociones y figuras de la matemática antigua adquieren nuevas interpretaciones en la historia de la matemática.
Aunque en algún caso se ha querido ver la expresión de reglas generales, los problemas de los textos babilónicos son problemas numéricos particulares, con datos escogidos al efecto, en especial para que los divisores no contengan sino factores 2, 3, y 4; en muchos casos no tienen otra finalidad que el cálculo numérico, en otros se trata de aplicaciones de distinta índole.
Desde el punto de vista matemático, las novedades más importantes que registran los textos babilónicos se refieren a la solución algebraica de ecuaciones lineales y cuadráticas, y el conocimiento del llamado “teorema de Pitágoras” y de sus consecuencias numéricas.
En los problemas de primer grado con una incógnita las tablas de multiplicación o de recíprocos ofrecen de inmediato la solución; en los sistemas lineales, en cambio, a veces con varias incógnitas, ya entra en juego la habilidad algebraica del calculista. (I)
Tal habilidad se pone de relieve más claramente en los problemas, a veces agrupados en colecciones, que exigen la resolución de ecuaciones cuadráticas o reducibles a cuadráticas; resolución que el calculista babilónico lleva a cabo utilizando la actual resolvente, a veces mediante el recurso de reducir el problema a la determinación de dos números de los cuales se conoce el producto y la suma (o la diferencia). (2)
Otros problemas, de interés aritmético o algebraico, traen la suma de términos en progresión geométrica de base 1; la suma de los cuadrados de los diez primeros números mediante una expresión correcta y hasta una ecuación exponencial resuelta en forma aproximada. (3)
Los problemas que se refieren a aplicaciones geométricas revelan el conocimiento de la proporcionalidad entre los lados de triángulos semejantes, de las áreas de triángulos y trapecios así como de volúmenes de prismas y cilindros; en cambio, para la longitud de la circunferencia y el área del circulo se adoptan los valores poco aproximados de dar para la circunferencia el valor de tres diámetros (valores que se conservan en la Biblia) y para el circulo el triple del cuadrado del radio. También son erróneas las expresiones del volumen del tronco de cono y de la pirámide de base cuadrada y del cono.
Pero, sin duda, el conocimiento geométrico más interesante que revelan las tablillas es el del llamado “teorema de Pitágoras”, y en especial, como consecuencia, la ley de formación de los “tripletes pitagóricos”, es decir, de las ternas de números enteros, que a la par de representar medidas de los lados de triángulos rectángulos, expresan la posibilidad aritmética de descomponer un numero cuadrado en suma de dos cuadrados.
El conocimiento del “teorema de Pitágoras”, un milenio largo antes de la existencia de su pretendido autor, se pone de manifiesto en distintos problemas cuya solución correcta no podía lograrse sin ese teorema (4) y, en especial, mediante un texto: el Plimton 322 (del nombre de la colección que se conserva en la Columbia University) que se hizo conocer en 1945 y que presupone el conocimiento de la ley de formación de los “tripletes pitagóricos”, que aparecerá por primera vez en Occidente en los Elementos de Euclides hacia el 300 a. C. (5)
No es esta la única conexión entre los datos que aportan las tablillas de los babilonios y la clásica matemática griega. Desde el punto de vista técnico, es más importante señalar la   atmósfera común de álgebra no lineal, de álgebra cuadrática, que preside ambos campos; atmósfera que en las tablillas de los babilonios se revela en las ecuaciones algebraicas, y en los Elementos en toda la obra, en especial el Libro II, que el historiados de la matemática Zeuthem bautizo proféticamente de “algebra geométrica” hace casi 90 años, cuando ni por asomo podía pensarse en la vinculación que hoy se vislumbra entre geometría griega y la milenaria “algebra de los babilonios”.
Es posible que mediante esta “algebra geométrica” podamos hacer alguna conjetura acerca del origen de los conocimientos de los babilonios. Sean dos números a y b representados por los segmentos AB y AD (fig. 1), respectivamente; si a continuación de AB se lleva BC = AD los segmentos AC y DB serán, respectivamente, a + b y a – b. Introduciendo el centro O de simetría de la figura, resulta fácilmente AO = OC = ½ (a + b) Y DO = OB = ½ (a - b) y, por tanto , de AB = AO + OB y AD = AO – OD se desprenden las relaciones entre dos números, su semisuma y su semidiferencia, que los babilonios utilizaron en sus problemas.

Supongamos ahora que en pos de conjeturas “elevamos al cuadrado” la figura y obtenemos el cuadrado de lado AC descompuesto en cuadrados y rectángulos, Así:


(a + b) ² = AE; (a - b) ² = FG; ab = LI = IM = MD = DL, y distintas composiciones de esas figuras llevan a la identidades:
                                    (a + b) ² = a² + b² + 2ab; (a - b) ² + 2ab = a² + b² ;
                                                    
                                                        (a + b) (a - b) = a² – b² ;
                                                    
                                                        (a + b) ² – (a – b) ² = 4ab
                                                       
                                                                          ó
                                                  [ ½ (a + b)] ²  – [ ½ (a - b)] ²  = ab
que los babilonios utilizaron en la resolución de su ocupaciones cuadráticas.
Hagamos un paso más y traemos las diagonales LI, IM, MD, DL de los rectángulos que bordean la figura que no serán sino las hipotenusa c de los triángulos rectángulos de catetos a y b, y por tanto el cuadrado construido sobre esa hipotenusa c de los triángulos rectángulos de catetos a y b, y por tanto el cuadrado LM =  DI es el cuadrado construido sobre esa hipotenusa. De la figura se deduce una propiedad geométrica que los babilonios parece que no utilizaron, como lo hará en cambio más tarde Diofanto; esa propiedad dice  que si al cuadrado  de la hipotenusa se le suma o se le resta cuatro veces el triangulo se obtiene, en ambos casos, un cuadrado, o en símbolos  c² ± 2ab = (a ± b) ², propiedad que implícitamente contiene el llamado “teorema de Pitágoras”, aunque el teorema puede obtenerse directamente utilizando una de sus numerosas “demostraciones” por descomposición de figuras; así por ejemplo, una demostración muy simple, que aparecerá en escritos árabes del s. IX, consiste en suprimir del cuadrado DI los triángulos LGI e IHM, desplazándolos, respectivamente a DCM y LAD; el cuadrado DI se convierte en la figura equivalente LGHMCAL, suma de los cuadrados AG y BM de los catetos.
Como curiosidad agregamos que el matemático Hamilton del siglo pasado al reproducir esa demostración sombreo en la figura LIMCAL esos cuatro triángulos, inscribieron en el pentágono cóncavo LGHMDL una leyenda que parafraseamos: “Como se ve, soy  a² +b²- ab ;  si me adoso los dos triángulos compongo el cuadrado de la hipotenusa, si me sustento sobre los dos triángulos, compongo la suma de los cuadrados de los catetos”.
Una última conjetura nos llevaría a los tripletes pitagóricos. De la propiedad (a +  b) ² = (a - b) ² + 4ab se puede llegar a la descomposición de un cuadrado en suma de dos cuadrados, es decir, a la ecuación pitagórica (¿o habría que llamarla seudopitagórica?) x² + y² = z², sin más que tomar para a y b números cuadrados m² y n² , llegándole a las expresiones x = m² - n², y = 2mn, z = m² + n², con las cuales se ha construido la tabla del Plimpton 322.
Conjeturas de otra índole merecería las consideraciones acerca de la finalidad que persiguen sumerios y babilonios con su sorprendente algebra. Sin duda en sus albores la matemática nació bajo los signos que Spranger señalo al calificarla de “semijuegos y semirreligiosidad”, pero en el algebra de los babilonios la atmosfera técnica que envuelve a sus problemas revela también aspectos más positivos, menos místicos. Una hipótesis verosímil, que la índole de los problemas corroborara fija a los textos matemáticos de  los babilonios una finalidad formativa: su estudio y práctica serian considerados indispensables en el aprendizaje y adiestramiento de escribas y funcionarios de pueblos de un avanzado desarrollo comercial.

                                    Notas complementarias
(1) Un problema de primer grado. He aquí un ejemplo del tipo de problema de mezclas en el que además se utilizan unidades de medidas agrarias de la época. Se conoce la extensión total (1.800) de un campo compuesto de dos parcelas, en cada una de las cuales el rendimiento del grano por unidad de área está afectado por coeficientes diferentes (2/3 y 1/2). Se desea saber la extensión de cada parcela conociendo la diferencia (500) del producido de la cosecha. De acuerdo con nuestros símbolos el problema exige la resolución del sistema de dos incógnitas:

                                                 x + y = 1800 ;  ⅔  x – ½  y = 500
                                 
                                               de solución     x = 1200 ; y = 600

Aunque la marcha que sigue el calculista no es clara y aparentemente presupone un método de falsa posición, en realidad los cálculos encierran un proceso correcto en el cual implícitamente se hace intervenir al lado de la suma conocida de las incógnitas, su diferencia desconocida x – y = 2_z.
En efecto_, el calculista  comienza admitiendo que las dos parcelas son guales (a la semisuma 900) y con esa hipótesis falsa llega al valor erróneo de la diferencia de producido: 150 (es decir ⅙ = ⅔ - ½ de 900). Para compensar el error de 350 = 500 – 150 reconoce, sin decirlo, que ese error es los ⁷⁄₆ (suma de ⅔ y ½) del valor que, sumado y restado al dato inicial erróneo, dará la extensión de las parcelas. Para obtener aquel valor deberá dividir 350 por ⁷⁄₆, operación que, por la presencia del factor 7, las tablas no facilitan; el calculista obvia la cuestión preguntándose simplemente por cuanto debe multiplicar ⁷⁄₆ para obtener 350: su respuesta es obvia: 300, y este dato sumado y restado a 900, da los valores de las incógnitas. Es fácil ver que, aun con un lenguaje de valores erróneos, la marcha del proceso es la que hoy se seguiría si se introducen los valores x = 900 + _z ;
y = 900 – _z , y se calcula _z de acuerdo con la segunda ecuación.

(2) Un problema de segundo grado. He aquí el enunciado de un ejemplo típico tomado de una tablilla de los babilonios: “Largo y ancho. He multiplicado largo y ancho y he obtenido el área. He agregado al área el exceso del largo sobre el ancho: 183, además he sumado largo y ancho: 27. Se pide largo, ancho y área”. Este problema, al sumar áreas y longitudes absurdo desde el punto de vista práctico, revela claramente que su interés es exclusivamente técnico o numérico. Con nuestros símbolos el problema lleva al sistema de segundo grado: xy + x = 183: x + y = 27, y aunque pueda parecer anacrónico conviene seguir con nuestros símbolos la marcha de los cálculos que señala la tablilla., para poner de manifiesto su carácter algebraico. El calculista comienza por sumar los dos datos numéricos 183 + 27 = 210; [x(y + 2) = 210] y agrega 2; (x + y + 2 = 29). Lo que sigue es el método actual de nuestra resolvente para obtener los valores de dos números (en este caso x e y +2), conociendo su suma 29 y su producto 210.
En efecto, toma la mitad de 29: 14 ½ de cuyo cuadrado resta 210, obteniendo ⅟₄, cuya raíz cuadrada ½ suma y resta a 14 ½ obteniendo los valores 15 y 14 de este ultimo resta 2, llegando a la solución del problema: 15, 12, 180.
Por supuesto que el calculista no advirtió la existencia de una segunda solución x = 13; y = 14, por cuanto estos problemas, por su probable carácter didáctico son problemas artificiales con soluciones preparadas de antemano y son estas solucione las que se buscan y no otras.
(3) Un problema de interés compuesto. Se trata del clásico problema de la determinación del tiempo en que se duplica un capital, a una determinada tasa de interés compuesto. En el caso de la tablilla esa tasa es del 20%, dato que a la par que puede interesar a la historia económica de esos pueblos, facilita bastante la soluciona aritmética. El problema es trascedente y exige la solución de la ecuación exponencial 1,2^x = 2, para lo cual el calculista después de comprobar que x está entre 3 y 4 y más próximo a 4 que a 3,  determina el incremento 4 – x mediante la proporcionalidad de los incrementos ofreciendo quizás el primer ejemplo de la aplicación del mas arde llamado “método de falsa posición”, De acuerdo con esa hipótesis, aquel incremento esta dado por el cociente

                                                       (1,2⁴ - 2) : (1,2⁴ – 1,2³)

que da el tiempo de doble capitalización con un error por defecto inferior a seis días.

(4) El teorema de Pitágoras. Varios problemas de las tablillas son variantes de un problema frecuente en el folklore matemático: el problema de la caña, cuya solución exige el conocimiento del teorema de Pitágoras.
Veamos un caso simple: una caña que se apoya en una pared de igual altura que ella se desliza sin caer. Calcular su altura x conociendo el deslizamiento a de su tope y la distancia b en que se ha apartado el pie de la caña respecto de la pared. Este problema, que equivale a la determinación del radio de un circulo del cual se conoce una semicuerda y la flecha respectiva, exige la aplicación del teorema de Pitágoras que da por solución x = = ½ (a²  + b²): a; y son estos cálculos, efectivamente, los que efectúa el calculista babilonio partiendo de a = 3; b = 9, obteniendo x = 15.

(5) El texto “Plimtom 322”. (Se reproduce a continuación del texto de la tablilla en signos modernos, tomada de O. Neugebauer. The exact Sciences in Antiquity, Nueva York, Dover, 1969, pág. 37) Se trata de la parte derecha de una tablilla mutilada que comprende cuatro columnas; la primera, a partir de la derecha, no contiene sino los números 1 a 15 para ordenar las filas; la segunda y tercera, encabezadas respectivamente con las palabras “diagonal” (d) y “ancho” (b), contienen números enteros aparentemente sin orden alguno, mientras que la cuarta columna, encabezada por un término ininteligible, contiene expresiones fraccionarias, a veces hasta con siete fracciones sexagesimales. Descifradas la tablilla, el resultado fue que las columnas (d) y (b) comprenden los componentes de tripletes


            I                                                    II(= b)                         III(= d)                        IV 
    
         [ 1,59,0 ]15                                    1,59                             2,49                            1
         [ 1,56,56,]58,14,50,6,15              56,7                            3,12,1                         2
         [ 1,55,7, ]41,15,33,45                  1,16,41                       1,50,49                       3
         [ 1,]5[ 3, 1]0,29,32,52,16            3,31,49                        5,9,1                           4
         [ 1,]48,54,1,40                              1,5                                1,37                             5
         [ 1,]47,6,41,40                              5,19                              8,1                               6
         [ 1,]43,11,56,28,26,40                 38,11                            59,1                            7
         [ 1,]41,33,59,3,45                         13,19                            20,49                          8
         [ 1,]38,33,36,36                             9,1                                12,49                          9
         1,3510,2,28,27,24,26,40             1,22,41                         2,16,1                       10
         1,33,45                                           45                                  1,15                           11
         1,29,21,54,1,15                             27,59                            48,49                         12
         [ 1,]27,0,3,45                                 7,12,1                           4,49                           13
         1,25,48,51,35,6,40                        29,31                            53,49                         14
         [ 1,]23,13,46,40                             56                                  53                               15


pitagóricos correspondientes a la hipotenusa y a un cateto, es decir, d = m²  +  n² y  b = m² – n², y cuyo otro cateto b = 2mn, del cual sus valores, que figurarían probamente en la parte que falta, deben cumplir la condición de no contener sino divisores de 2, 3, 5, circunstancia que explicaría el aparente desorden de las columnas d y b, pues la cuarta columna contiene los valores numéricos de (d/a)² , es decir, con nuestro léxico los valores de a decrecen bastante uniformemente entre 45° y 31°, lo que hace suponer que otras tablillas contendrían los valores correspondientes a los otros sectores de 15°.
Por ejemplo, en la fila sexta los valores de las tres columnas son en el sistema sexagesimal.

                                              d = 8.1; b = 5.19; (d/a)² = 1.47.6.41.40

Es fácil ver que en este caso m = 20, n = 9; d = 481; b = 319 resultando a = 360, que no figura, pero que cumple con la condición de no contener sino factores 2, 3, 5 y que (d/a)² = (481/360) expresando en el sistema sexagesimal es precisamente el valor que aparece en la cuarta columna. Para estos valores a es aproximadamente 40°

Historia de las Matemáticas / La Matemática Empírica

I. La prehistoria

La expresión: el mundo esta impregnado de matemática, convertida en lugar común en una era tecnológica como la actual, es una expresión válida para todas las épocas humanas, tan consustanciados  están el contar y el comparar con las especificas actividades del hombre: pensar, hablar  y  fabricar instrumentos.
En la mente y en la acción del hombre prehistórico no están ausentes los números más simples, las formas más elementales y la ordenación más visible de las cosas. En el hombre que da nombre a las cosas y a los actos; que conserva el fuego e imagina trampas a las cosas y a los actos; que conserva el fuego e imagina trampas para cazar animales; que construye viviendas y tumbas;  que observa el movimiento de los astros y destaca direcciones especiales; que computa distancias con su cuerpo y sus pasos; que graba escenas de un impresionante realismo; en ese hombre y en esas actividades están  prefigurados los conceptos básicos de la matemática: numero, medida, orden.

Al pasar de la etapa paleolítica a la neolítica el proceso se afín: las nuevas técnicas agrícolas y pastoriles, al cerámica y la carpintería: la industria textil; la minería y la metalurgia, el trueque de bienes y objetos, la navegación y el transporte, las normas que rigen la naciente organización familiar, social y económica exigen una precisión cada vez  mayor en el contar, en el medir y en el ordenar. El hallazgo del proceso deductivo y de la relación causa-efecto y los inagotables recursos de la imaginación humana harán el resto.
Y cuando asoma la escritura, como subproducto de la cultura urbana, ese saber matemático, aun vago y nebuloso, comienza a adquirir consistencia.
Una hipótesis verosímil acerca del origen de la escritura vincula este rigen con practicas aritméticas. En efecto, según tal hipótesis, la escritura nace a mediados del lV milenio antes de Cristo en la Baja Mesopotamia, en el seno de la cultura urbana de los sumerios, cuyas ciudades estaban construidas alrededor del templo, edificado sobre la colina artificial, como una torre escalonada, que no solo representaba la unidad espiritual de la comunidad, sino que encerraba además su riqueza económica. Los bienes del templo, acumulados en sus talleres y graneros, eran administrados por los sacerdotes, y es explicable que a medida que esos bienes aumentaban con el crecimiento de la población, se tornaba mas difícil retener de memoria las “cuentas del templo”, es decir, los datos relativos a los tributos que se debían al dios y la cantidad de semillas de ganado que se entregaba a los campesinos y pastores; de ahí la necesidad de fijar signos convencionales que permitieran retener esos datos sin confiar en la memoria individual. Que tal fuera el origen de los primeros signos grabados, lo comprobaría el hecho de que las tablillas pictográficas de Erech del 3.500 a. C., que son las más antiguas que se conocen, contienen signos que representan una cabeza de vaca, una espiga de trigo, un pez, acompañados de signos especiales que sin duda representan signos numéricos. Por lo demás, cabe recordar que entre los sumerios existía la costumbre de marcar con sellos individuales los objetos de propiedad personal, y que por ser el dios de la ciudad el único propietario de la tierra y todos sus frutos, los sellos que marcarían los bienes del templo adquirían un sentido más convencional y una mayor difusión.

                                             2. Letras y números
Esta notación numérica de las “cuentas del templo” pone de relieve ciertas conexiones entre escritura y los sistemas de numeración que pueden dan pábulo a la tentadora hipótesis de admitir que los sistemas escritos de numeración fueron anteriores a la escritura misma.
Observemos en primer lugar que todos los pueblos sin excepción, sean o no primitivos, tengan o no escritura, disponen de palabras, así como disponen de gestos y signos convencionales para indicar números o unidades.
Igualmente se encuentra en los pueblos primitivos una gran variedad de procedimientos de cómputos, que se presentan siempre como una relación cualitativa de un signo a la cosa significada y siempre también bajo el imperio de una imagen concreta. (l)
Tal presencia constante de lo concreto en la numeración primitiva se puede presentar bajo diversos aspectos. Así , un primitivo dirá que ha tomado tantos peces como dedos tiene la mano, y si designa este hecho con la palabra que deriva de la palabra “mano”, esa palabra no quiere significar el numero 5, sino solamente que los objetos en cuestión son tantos como los dedos de la mano. Por otra parte, el ejemplo abstracto no cabe en la mentalidad primitiva, Así, un indio norteamericano, a quien se trataba de familiarizar con el inglés, no pudo traducir: “ayer el hombre blanco mato seis osos”, pues ese hecho significaba una imposibilidad material.
En otros casos los números 1, 2, 3 se designan con vocablos diferentes según se refieran a personas, días, u objetos, y este último caso según sean ellos esféricos o alargados. Quizá pueda verse un residuo en nuestro léxico actual cuando al referirnos a zapatos decimos, “un par”, mientras que para los bueyes, por ejemplo decimos “una yunta”.
También se han facilitado los cálculos mediante el uso de objetos materiales, como hojas secas o piedrecillas, que actúan a la manera de unidades en la forma como aun se acostumbra para el puntaje en los juegos de naipes. Nuestra palabra “calculo” proviene del latín calculi (guijarros), y los ábacos para contar y sumar que se perfeccionaron en los tiempos históricos, hasta construir rudimentarias maquinas de calcular, no son sino dispositivos mecánicos fundados en el agrupamiento de objetos materiales.
En este campo como en tantos otros la variedad preside la actividad humana; así nativos de la isla Fidji indican el numero de víctimas logrado en la caza mediante entalladuras en sus mazas con la característica de que nueve entalladuras iguales, la siguiente es algo más larga, de ahí que con un sistema limitado de numeración hablada pueden llegar a contar números relativamente grandes. Por ejemplo, al observar cinco entalladuras largas y cuatro últimas cortas, el nativo tendrá el número 54 para el cual seguramente en su lenguaje no dispone de la palabra adecuada. Si este sistema de entalladuras se torna convencional, entre él y un sistema de numeración escrita de tipo decimal aditivo solo existiría una diferencia de grado, no esencial. (2)
Al pasar a los sistemas escritos de numeración, se advierte igual variedad; ya en la base, es decir en el numero simple que sirve de jalón para expresar los números mayores; ya en la lectura, que puede ser tipo aditivo, con variantes distintas, o posicional. En los sistemas aditivos el valor del numero se obtiene sumando (en ocasiones restando) los valores correspondientes a cada signo individual, independientemente de la posición del signo en el contexto; mientras que en los sistemas posicionales el valor de cada signo depende de la posición de este en el contexto. Por la base 10 y el tipo de lectura, nuestro sistema actual es decima y posicional.

En cuanto a la base de los sistemas escritos antiguos, que probablemente provienen de bases ya existentes en los sistemas orales, se advierte igual variedad: puede ser 2, como lo comprueba el hecho de que seguimos hablando de pares y yuntas, puede ser 3, 4 ó 5 aunque la base más difundida es 10, que ya Aristóteles justificaba en vista del numero de dedos de la mano. En el idioma francés actual quedan rastros de una base 20 de los celtas, base que fue adoptada también por pueblos primitivos descalzos;  nuestras docenas son también residuos de una base 12, utilizada ya por el número (aproximado) de lunaciones del año, ya por su comodidad en las medidas, en vista de la facilidad que ofrece el mayor número de sus divisores, frente por ejemplo a los de la base 10.
Casi todos los sistemas antiguos de escritura disponen de signos especiales para representar los números. Constituyen excepción el griego, el árabe, el hebreo y otros que utilizan para ese fin las letras del alfabeto respectivo. El caso griego tiene un interés especial, ya que se conocen dos sistemas de numeración escrita, ambos aditivos. Un sistema, cuyos signos se llaman herodiánicos (por Herodiano, gramático griego del siglo II que estudio y expuso estos signos), en el cual la unidad y las primeras cuatro potencias de 10 se indican con las iniciales de las palabras respectivas, agregándose un signo especial para el 5; y un segundo sistema en el cual los nueve dígitos, las nueve decenas y las nueve centenas se representan por las 24 letras del alfabeto arcaico para el 6, el 90 y el 900; y en el cual se indican con ápices y otros signos especiales las fracciones unitarias y los números superiores al millar. Por el empleo de las letras del alfabeto arcaico se supuso que el segundo sistema fuera anterior al primero, pero el hecho es que el primer sistema cayó en desuso hacia el s. IV a. C., quedando en vigencia el segundo.
Es interesante destacar que en algunos casos el sistema de numeración escrita presenta, frente a la escritura, cierta prelación si no cronológica, por lo menos en el sentido de la sencillez, y de la abstracción. Un ejemplo lo ofrecen las escrituras cretenses de las que se reconocen tres tipos: uno pictográfico y dos lineales A y B. Son todas del II milenio y la última de ellas: la línea B, que resulto pertenecer a un idioma griego arcaico, fue descifrada por Michel Ventris en 1952. De tal escritura ya se habían identificado no solo los signos numéricos pertenecientes a un sistema decimal aditivo, sino también algunas operaciones aritméticas simples: sumas y probamente cálculos de porcentajes, y sin duda tal desciframiento previo ayudo al posterior desciframiento de la escritura. (3)

Notas complementarias

(I) Los “números corporales “Es natural que el hombre para contar y hasta para sumar haya acudido a lo que tenía más cerca; su propio cuerpo en especial los dedos de las manos y eventualmente de los pies. Aun hoy hablamos de dígitos  (del latín digitus = dedo) para referirnos a las cifras 1 a 9 inclusive. Los antiguos romanos hablaban de “numerare per dígitos” contar por los dedos; también el primitivo y el niño “cuentan con los dedos” (no “cuentan los dedos”), como ocurre entre ciertos pueblos primitivos, que además de los dedos de las manos y de los pies utilizan otras partes del cuerpo, para contar y sumar; mientras que el cálculo digital mismo, mediante simbolismos adecuados relacionados con las posiciones de los dedos frente a otras partes del cuerpo, se perfecciono permitiendo el recuento de números bastante grandes, como se presenta en sistemas de épocas históricas: ya en la antigüedad y hasta en tiempos medievales.

(2) Los “quipos” peruanos. Un dispositivo semejante para contar es el fundado en las cuerdecillas con nudos, de los cuales el más conocido es el “quipo” (del quechua kipu=nudo) peruano con el cual, mediante un sistema de cuerdas de distintos colores en número y disposición diferentes, los antiguos peruanos, sin disponer de escritura, realizaban un cabal sistema de numeración escrita que les permitió registrar cuanto dato de utilidad para el estado podía registrarse, gracias claro es, también a la prodigiosa memoria de sus calculadores.

(3) La cronología maya. Otro ejemplo lo ofrecen los mayas de cuya escritura jeroglífica se descifra últimamente (1961) con calculadoras electrónicas, algunos textos religiosos: mientras que ya se conocían sus dos sistemas de numeración. En uno de ello, con signos jeroglíficos cada número se indica con una cabeza de dios, de hombre o de animal, mientras que en el otro de índole mas abstracta se utiliza un sistema posicional de base 20 (aunque no coherente), en el cual no figuran sino tres signos , un punto para la unidad, una barra para cinco unidades y una especie de conchilla u ojo semicerrado para indicar el cero, de manera que en este sistema cada “cifra” esta representada por un determinado grupo de pocos puntos y barras. El numero se forma ordenando las cifras de abajo hacia arriba. Este sistema, utilizado principalmente con fines cronológicos, no es coherente en el sentido que la tercera unidad no es 400=20, sino 360 discrepancia que se explicaría en vista de aquellos fines por ser el año oficial maya de 360 días.
Mientras que este sistema permite expresar números muy grandes, en los códices mayas aparecen números que superan los doce millones, es sintomático destacar en cambio que la escritura maya no ha superado la etapa pictográfica. Es posible que el afán de fijar con precisión las fechas vinculadas con los dioses patronos de cada ciudad o de cada individuo estimulara en los mayas la búsqueda de un adecuado sistema de numeración escrita que resulto dotado de un grado de abstracción muy superior al que revela su incipiente escritura.


                                        3. Formas y problemas

El contar y el numerar, con ser actividades comunes y frecuentes no agotan el campo de las nociones matemáticas del hombre primitivo y conjeturalmente del prehistórico.
Por su nombre: geometría en griego alude a “medir la tierra” los conocimientos geométricos tuvieron un origen práctico. Por lo menos, así lo atestigua Herodoto en un conocido pasaje de su historia;  “El rey de Egipto dividió el suelo del país entre sus habitantes, asignando lotes cuadrados de igual extensión a cada uno de ellos y obteniendo sus principales recursos de las rentas que cada poseedor pagaba anualmente. Si el rio arrasaba una parte del lote de un habitante, este se presentaba al rey y el exponía lo ocurrido, a lo cual el rey enviaba personas a examinar y medir la extensión exacta de la perdida y más adelante la renta exigida era proporcional al tamaño reducido del lote. Es en virtud de esta práctica que pienso, comenzó a conocerse la geometría en Egipto, de donde paso a Grecia.”
Mas no solo el hombre midió la tierra; otras mediciones exigió la construcción de sus viviendas y tumbas, de sus graneros y canales. Por lo demás nuevas nociones geométricas surgieron de las formas y figuras con que el hombre decoro y ornamento sus viviendas y sus objetos, así como  de la observación de formas que atrajeron su atención por su sencillez o su simetría: (“la línea” viene de lino), el circulo, los polígonos y poliedros regulares. El ladrillo de antigua data, aporto probamente  la noción de ángulo recto, mientras que nuevas formas geométricas nacían de los movimientos: ya de las danzas humanas, ya del andar de los astros en la bóveda  celeste.
Por último, cabe mencionar otras nociones matemáticas de origen completamente distinto: es el conjunto de problemas, enigmas y adivinanzas que componen el folklore matemático que practican todos los pueblos, mostrando a veces curiosas coincidencias solamente por transmisión oral a la manera de semillas que lleva el viento, favorecida por el carácter recreativo, enigmático y a veces, sorprendente del problema.
Sin embargo, no obstante tal finalidad extramatemática, las cuestiones del folklore matemático encierran interesantes nociones de orden aritmético y, a veces hasta algebraico.