El deseo de entender el
cosmos ha sido siempre un impulso humano. Los esfuerzos del hombre por llegar
al fondo de la pregunta «¿qué significa todo esto?» han superado con creces los
dedicados a la mera supervivencia, a la mejora de la situación económica o de
la calidad de vida. Eso no significa que todos hayan participado de forma
activa en la búsqueda de algún tipo de orden natural o metafísico. Las personas
que tienen que luchar por llegar a fin de mes apenas pueden permitirse el lujo
de ponerse a reflexionar acerca del sentido de la vida. En la galería de
cazadores de patrones subyacentes a la complejidad que se percibe en el universo,
varios de ellos destacan sobre los demás.
Para muchos, el nombre
del matemático, científico y filósofo francés René Descartes (1596-1650) es
sinónimo del nacimiento de la «era moderna» de la filosofía de la ciencia.
Descartes fue uno de los principales arquitectos[19] del cambio de
una descripción del mundo natural en términos de las propiedades percibidas
directamente a través de los sentidos a una explicación expresada mediante
cantidades matemáticamente definidas. En lugar de sentimientos, olores, colores
y sensaciones vagas, Descartes quería que las explicaciones científicas
descendiesen hasta el nivel fundamental y utilizasen el lenguaje de la
matemática:
No reconozco sustancia
alguna en las entidades corpóreas salvo lo que los geómetras llaman cantidad y convierten en el objeto de
sus demostraciones … Y, siendo que todos los fenómenos naturales pueden
explicarse de este modo, sostengo que ningún otro principio es admisible o
siquiera deseable en física.[20]
Es interesante ver cómo
Descartes excluía de su elevada visión científica los reinos del «pensamiento y
la mente», que consideraba independientes del mundo de la materia, susceptible
de ser explicado mediante la matemática. Aunque no cabe duda alguna de que
Descartes fue uno de los pensadores más influyentes de los últimos siglos (y
volveré a referirme a él en el capítulo 4), no fue el primero en elevar la
matemática a una posición central. Aunque parezca increíble, ideas radicales de
un cosmos impregnado y gobernado por la matemática —ideas que, en cierto modo,
iban más allá del propio Descartes— vieron la luz por vez primera, aunque
teñidas de un cierto tono místico, hacía más de dos milenios. La persona a la
que, según la leyenda, se le atribuye la percepción de que el alma humana es
«como la música» si se la mira desde el punto de vista de la matemática pura,
es el enigmático Pitágoras.
Pitágoras
Pitágoras (ca. 572-497 a.C.) fue quizá la primera persona que fue a la vez un influyente filósofo natural y un carismático filósofo espiritual, es decir, un científico y un pensador religioso. De hecho, se le atribuye la introducción de las palabras[21] filosofía, que significa amor o avidez por el saber, y matemáticas, aquellas disciplinas que se pueden aprender. Aunque no ha sobrevivido ninguno de los escritos del propio Pitágoras (si es que existieron, ya que en la época la mayor parte de las comunicaciones eran orales), sí poseemos tres detalladas, aunque sólo parcialmente fiables, biografías de Pitágoras que datan del siglo III.[22] Una cuarta biografía anónima se conservó en los escritos del patriarca y filósofo bizantino Fotio (ca. 820-891 d.C.). El principal problema al intentar evaluar la contribución personal de Pitágoras es que sus seguidores y discípulos (los pitagóricos) atribuían invariablemente sus propias ideas a él. Así, incluso Aristóteles (384-322 a.C.) tiene problemas para identificar[23] qué partes de la filosofía pitagórica se pueden arrogar al propio Pitágoras, de modo que suele hablar de «los pitagóricos» o a «los así llamados pitagóricos». Sin embargo, a juzgar por la fama de Pitágoras en la tradición posterior, generalmente se supone que fue el inspirador de, como mínimo, algunas de las teorías pitagóricas con las que tan en deuda se sintieron Platón o incluso Copérnico.
No parece haber dudas
de que Pitágoras nació a principios del siglo VI a.C. en el isla de Samos,
junto a la costa de la actual Turquía. Es posible que en su juventud viajase
mucho, en especial a Egipto y puede que a Babilonia, en donde habría recibido
una parte de su educación matemática. Finalmente emigró a la colonia griega de
Crotona, cerca del extremo sur de Italia, en donde rápidamente se rodeó de un
entusiasta grupo de jóvenes estudiantes y seguidores.
El historiador griego
Herodoto[24] (ca. 485-425 a.C.) hablaba de Pitágoras como «el más
capaz de los filósofos griegos», a lo que el filósofo y poeta presocrático
Empédocles (ca. 492-432 a.C.) agregaba con admiración: «Pero entre ellos había
un hombre de prodigiosos conocimientos, dotado de la más profunda capacidad de
comprensión y maestro en todo tipo de artes; pues, cuando era su firme
voluntad, podía fácilmente discernir cualquier verdad de las vidas de sus diez,
no, veinte hombres».[25] Pero no causaba esta impresión a todos. En
comentarios que parecen producto de alguna rivalidad personal, el filósofo
Heráclito de Éfeso (ca. 535-475 a.C.), aunque reconoce los amplios
conocimientos de Pitágoras, agrega con desdén: «La erudición no enseña la
sabiduría; si así fuera, sabios serían Hesíodo [un poeta griego que vivió
alrededor del año 700 a.C.] y Pitágoras».
Pitágoras y los
primeros pitagóricos no eran matemáticos ni científicos en el sentido estricto.
Más bien, el núcleo de su doctrina contenía una filosofía metafísica del
concepto de número. Para los
pitagóricos, los números eran entidades vivas y principios universales imbuidos
en todo, desde los cielos a la ética de los hombres. En otras palabras, los
números poseían dos aspectos diferentes y complementarios. Por un lado, tenían
una existencia física perfectamente tangible; por otro, se trataba de fórmulas
abstractas situadas en la base de todo. Por ejemplo, la mónada[26] (el número 1) era tanto un generador de todos
los demás números —una entidad tan real como el agua, el aire y el fuego, que
formaba parte de la estructura del mundo físico—, como una idea, la unidad
metafísica como origen de toda la creación. El historiador de la filosofía
inglés Thomas Stanley (1625-1678) describió con gran belleza (y en inglés del
siglo XVII) los dos significados que los pitagóricos asociaban a los números:
El número es de dos
clases: la Intelectual (o inmaterial) y la Ciencial. La Intelectual es esa
sustancia eterna de Número, que Pitágoras, en su Discurso acerca de los Dioses, afirmaba que era el principio más providencial de los Cielos y
de la Tierra, y la naturaleza que los hace uno … Esto es lo que se denomina
el principio, la fuente, la raíz de todas
las cosas … El Número Ciencial es el que Pitágoras define como la extensión y producción en acto de las
razones seminales que se encuentran en la Mónada o en un grupo de Mónadas.[27]
Así, los números no
eran simples herramientas para denotar cantidades: los números debían ser
descubiertos, y eran los agentes formativos que actuaban en la naturaleza. Todo
el universo, desde los objetos materiales como la Tierra a los conceptos
abstractos como la justicia, era número de extremo a extremo.
Que alguien quedase
fascinado por los números[28] no es quizá sorprendente de por sí.
Después de todo, incluso los números más simples, los que aparecen en la vida
cotidiana, tienen propiedades interesantes. Por ejemplo, los días del año: 365.
Es fácil comprobar que 365 es la suma de tres cuadrados consecutivos: 365 = 102
+ 112 + 122. Pero no acaba ahí: 365 es también igual a la
suma de los dos cuadrados siguientes (365 = 132 + 142). O
fijémonos en los días del mes lunar: 28. Este número es la suma de todos sus divisores (los números que
pueden dividirlo sin dejar resto): 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14. Los números que
cumplen esta propiedad en especial se denominan números perfectos (los cuatro primeros números perfectos son 6, 28,
496, 8.218). Observe que 28 es también la suma de los cubos de los dos primeros
números impares: 28 = 13 + 33. Incluso un número tan
vulgar como 100 posee sus propias peculiaridades: 100 = 13 + 23
+ 33 + 43.
Muy bien, así que los
números pueden ser fascinantes. De todos modos, uno se pregunta cuál puede ser
el origen de la doctrina pitagórica de los números. ¿Cómo surgió la idea, no
sólo de que los números estaban presentes en todas las cosas, sino de que todas
las cosas eran números? Pitágoras no
dejó nada escrito, o sus escritos fueron destruidos, así que no se trata de una
pregunta de fácil respuesta. La impresión que ha sobrevivido sobre los
razonamientos de Pitágoras se basa en unos pocos fragmentos preplatónicos y en
comentarios muy posteriores y de menor fiabilidad efectuados por filósofos
platónicos y aristotélicos. La imagen que se obtiene al unir este mosaico de
pistas sugiere que la obsesión de los pitagóricos por los números puede deberse
a su preocupación por dos actividades aparentemente aisladas: los experimentos
con música y la observación de los cielos.
Para comprender cómo se
materializó esta misteriosa conexión entre los números, los cielos y la música,
debemos empezar por la interesante observación de que los pitagóricos poseían
una forma de representarlos números
mediante guijarros o puntos, Por ejemplo, los números naturales 1, 2, 3, 4, …
los representaban con guijarros ordenados en forma triangular (como se muestra
en la figura 1).
Concretamente, al
triángulo que se forma con los cuatro primeros números enteros (un triángulo de
diez guijarros) lo denominaron tetraktys
(que significa «Cuaternario» o «con la cualidad de cuatro»), y para los
pitagóricos simbolizaba la perfección y los elementos que la componen, según
está documentado en una historia de Pitágoras escrita por el autor satírico
griego Luciano (120-180 d.C.) Pitágoras pide a una persona que cuente.[29]
Mientras lo hace, «1, 2, 3, 4», Pitágoras lo interrumpe: «¿Lo ves? Lo que para
ti es 4 es en realidad 10, y nuestro juramento». El filósofo neoplatónico
Jámblico (ca. 250-325 d.C.) revela que el juramento pitagórico era,
efectivamente:
Juro por aquel que
transmitió a nuestra alma la Tetraktys en la cual se encuentran la fuente y la
raíz de la eterna Naturaleza.[30]
¿Por qué esa veneración
por la Tetraktys? Porque, a los ojos de los pitagóricos del siglo VI a.C,
parecía esbozar la naturaleza del universo entero. En geometría, la disciplina
que impulsó la revolución del pensamiento en Grecia, el número uno representaba
un punto, dos representaba una línea, tres representaba una superficie
[triángulo], y cuatro representaba una figura tetraédrica tridimensional
[tetraedro]. Así, el Tetraktys parecía englobar todas las dimensiones
percibidas del espacio.
Pero eso no fue más que
el principio. El Tetraktys aparecía de forma inesperada incluso en el enfoque
científico de la música. Se suele atribuir a Pitágoras y los pitagóricos el
descubrimiento de que, al dividir una cuerda según los enteros consecutivos se
producen intervalos armónicos y consonantes, lo cual se puede ver en la
interpretación de cualquier cuarteto de cuerda. Cuando se pulsan dos cuerdas
similares al mismo tiempo,[31] el sonido resultante es agradable si
la proporción entre las cuerdas es simple. Por ejemplo, las cuerdas de igual
longitud (relación 1:1) producen el unísono; una relación 1:2 produce la
octava; 2:3 genera la quinta perfecta; y 3:4, la cuarta perfecta. Así vemos
que, además de los atributos espaciales que lo abarcan todo, el Tetraktys podía
representar también las proporciones matemáticas subyacentes a la armonía de la
escala musical. Para los pitagóricos, esta unión aparentemente mágica de
espacio y música suponía un poderoso símbolo, y les ofrecía una sensación de harmonía («correspondencia exacta») del Kosmos («el bello orden de las cosas»).
¿Y cuál es el papel de
los cielos en todo esto? Pitágoras y los pitagóricos desempeñaron en la
historia de la astronomía un papel que, aún sin ser esencial, no era nada
desdeñable. Fueron de los primeros en sostener que la forma de la Tierra era
una esfera (probablemente a causa de su percepción de la esfera como superior
desde un punto de vista estético y matemático). Probablemente fueron también
los primeros en afirmar que los planetas, el Sol y la Luna se mueven por sí
solos de forma independiente de oeste a este, en dirección opuesta a la
rotación (aparente) diaria de la esfera de estrellas fijas. Estos entusiastas
observadores del cielo nocturno no podían ignorar las propiedades más evidentes
de las constelaciones: la forma y el número. Cada constelación se caracteriza
por el número de estrellas que la
componen y por la figura geométrica
que estas estrellas forman. Pero estas dos características eran, precisamente,
los ingredientes esenciales de la doctrina pitagórica de los números, como se
manifiesta en la Tetraktys. Los pitagóricos quedaron tan cautivados por estas
relaciones entre figuras geométricas, constelaciones y armonías musicales con
los números, que éstos se convirtieron para ellos tanto en los ladrillos con
los que estaba construido el universo como en los principios en los que se
basaba su propia existencia. No es sorprendente que la categórica máxima de
Pitágoras fuese: «El número es la esencia de todas las cosas». (La cursiva es mía).
En dos de las
observaciones de Aristóteles podemos hallar hasta qué punto los pitagóricos se
tomaban en serio esta máxima. En su tratado Metafísica
hallamos: «… los llamados Pitagóricos se dedicaron por de pronto a las
matemáticas, e hicieron progresaresta ciencia. Embebidos en este estudio,
creyeron que los principios de las matemáticas eran los principios de todos los
seres». En otro pasaje, Aristóteles describe de forma muy gráfica la veneración
a los números y el papel preponderante de la Tetraktys: «… conforme al orden
inventado por Eurito [un discípulo del pitagórico Filolao], cada número es la
causa de alguna cosa, éste, por ejemplo, del hombre, aquél del caballo, porque
se puede, siguiendo el mismo
procedimiento que los que reducen los números a figuras, al triángulo, al
cuadrilátero, representar las formas de las plantas por las operaciones del
cálculo». La frase «los que reducen los números a figuras, al triángulo, al
cuadrilátero» alude tanto a la Tetraktys como a otro fascinante constructo
pitagórico: el gnomon.
La palabra gnomon («indicador»)[32]
surge del nombre de un dispositivo astronómico similar a un reloj de sol,
utilizado en Babilonia para medir el tiempo. Este aparato lo introdujo en
Grecia el maestro de Pitágoras, el filósofo natural Anaximandro (ca. 611-547
a.C.). No hay duda de que el tutor había transmitido al discípulo sus ideas
acerca de la geometría y su aplicación a la cosmología, el estudio del universo
en su conjunto. Más adelante, el término gnomon
se utilizó para denominar un instrumento para dibujar ángulos rectos, similar a
una escuadra de carpintero, o para la figura en ángulo recto que, sumada a un
cuadrado, forma un cuadrado mayor (figura 2).
Obsérvese que, al
añadir siete guijarros dispuestos en forma de ángulo recto (un gnomon) a un triángulo de 3 × 3 se
obtiene un cuadrado compuesto por dieciséis (4 × 4) guijarros. Se trata de la
representación figurativa de la propiedad siguiente: en la secuencia de números
enteros impares 1, 3, 5, 7, 9, … la suma de cualquier cantidad de números
sucesivos (empezando por el 1) da siempre como resultado un número cuadrado.
Por ejemplo: 1 = 12; 1 + 3 = 4 = 22; 1 + 3 + 5 = 9 = 32;
1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 42; 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 52,
etc. Para los pitagóricos, esta relación íntima entre el gnomon y el cuadrado al que «abraza» constituía un símbolo del
saber, en donde el cognosciente
«abraza» lo conocido. Los números no
se limitaban, pues, a ser una descripción del mundo físico, sino que se suponía
que eran asimismo la raíz de los procesos mentales y emocionales.
El número cuadrado
asociado con los gnomons podría haber
sido también el precursor del famoso Teorema
de Pitágoras. Esta célebre afirmación matemática establece que, en
cualquier triángulo rectángulo (figura 3) el
área de un cuadrado formado a partir de la hipotenusa es igual a la suma de las
áreas de los cuadrados formados a partir de los otros dos lados.
.
Como se muestra en el gnomon de la figura 2, al agregar un
número de gnomon cuadrado (9 = 32)
a un cuadrado de 4 × 4 se forma, efectivamente, un nuevo cuadrado de 5 × 5: 32
+ 42 = 52. Los números 3, 4, 5 pueden entonces
representar las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo. Los números
enteros que tienen esta propiedad (por ejemplo, 5, 12 y 13, ya que 52
+ 122 = 132) se denominan «tripletes pitagóricos».
Son muy escasos los
teoremas matemáticos que disfrutan de un «reconocimiento por nombre» similar al
del teorema de Pitágoras. En 1971, cuando la República de Nicaragua seleccionó
las «diez ecuaciones matemáticas que alteraron la faz de la tierra» como tema
para una serie de sellos, el teorema de Pitágoras aparecía en el segundo sello
(figura 5; en el primer sello se mostraba «1 + 1 = 2»).
¿Fue realmente
Pitágoras la primera persona en formular el conocido teorema que se le
atribuye? Algunos de los primeros historiadores de Grecia así lo pensaban sin
duda. En un comentario a los Elementos,
el voluminoso tratado de geometría y teoría de números que escribió Euclides
(ca. 325-265 a.C.), el filósofo griego Proclo (411-485 d.C.) escribió: «Si
escuchamos a los que relatan la historia antigua, hallaremos algunos que
atribuyen este teorema a Pitágoras, y dicen que sacrificó un buey en honor a su
descubrimiento».[33] Sin embargo, los tripletes pitagóricos pueden
hallarse ya ni la tableta cuneiforme babilónica denominada «Plimton 322», que
se remonta aproximadamente a los tiempos de la dinastía de Hammurabi (ca.
1900-1600 a.C.) Es más, en India se hallaron construcciones geométricas basadas
en el teorema de Pitágoras relacionadas con la elaboración de altares. No hay
duda de que estas construcciones eran conocidas[34] para el autor
del Satapatha Brahmana (el comentario
sobre las antiguas escrituras hindúes), que fue probablemente escrito varios
siglos antes de Pitágoras. Sin embargo, sea o no Pitágoras el creador del
teorema, no hay duda de que las repetidas conexiones halladas que tejían entre
sí los números, las formas y el propio universo acercaron a los pitagóricos un
paso más a una detallada metafísica del orden.
Otra de las ideas
capitales en el mundo pitagórico era la de los opuestos cósmicos. Los opuestos constituían el principio en el que
se basaba la antigua tradición jónica, de modo que fue algo natural su adopción
por parte de los pitagóricos y su obsesión por el orden. De hecho, Aristóteles
habla de un médico llamado Alcmeon, que vivió en Crotona en la misma época en
que los pitagóricos tenían allí su famosa «escuela», que suscribía la idea de
que todo está equilibrado «por parejas». La principal pareja de opuestos
consistía en el límite, representado
por los números impares, y lo ilimitado,
representado por los pares. El límite era la fuerza que introducía orden y
armonía en el desenfreno de lo «ilimitado». La noción era que tanto la
complejidad del universo en su conjunto como la intrincada vida humana, en el
nivel microcósmico, estaban formadas y reguladas por una serie de opuestos que,
en cierto modo, «se correspondían» entre sí. Esta visión bastante bicolor del
mundo se resumía en una «Tabla de opuestos», que se conservó en la Metafísica de Aristóteles:
Tabla de
opuestos Límite Ilimitado Par Impar Unidad Pluralidad Derecha Izquierda
Masculino Femenino Reposo Movimiento Recto Curvo Luz Oscuridad Bueno Malo
Cuadrado Oblongo
La filosofía básica que
expresa esta tabla de opuestos[35] no se limitaba a la antigua
Grecia. El yin y el yang chinos, en donde el yin representa negatividad y oscuridad y
el yang representa el principio de la
luz, ofrecen la misma imagen. Sentimientos parecidos a éstos pasaron a la
cristiandad, mediante los conceptos de cielo e infierno (e incluso a
declaraciones del presidente de Estados Unidos: «Estás con nosotros o con los
terroristas»). De un modo más general, el sentido de la vida siempre ha estado
iluminado por la muerte, y la sabiduría sólo es sabiduría en comparación con la
ignorancia.
No todas las enseñanzas
de los pitagóricos tenían una relación directa con los números. El modo de vida
de la cohesionada sociedad pitagórica se basaba en el vegetarianismo, una
sólida creencia en la metempsicosis (la inmortalidad y la transmigración de las
almas) y una misteriosa prohibición de comer alubias, para la que se han
sugerido diversas explicaciones, desde la similitud entre las alubias y los
genitales a la comparación entre comer alubias y comerse un alma humana. Esta
última interpretación considera que la expulsión de una ventosidad (que suele
ser una consecuencia de la ingestión de alubias) es la prueba de la extinción
de un hálito. Por eso, en el libro Philosophy
for Dummies[36] se resume la doctrina pitagórica con la frase
«Todo está hecho de números, y no comas judías o serás el protagonista de un
“número”».
La historia más antigua
que se conoce acerca de Pitágoras tiene que ver con la reencarnación del alma
en otros seres.[37] Este relato cuasipoético se debe al poeta del
siglo VI a.C. Jenófanes de Colofón: «Cuéntase que [Pitágoras] pasaba junto a un
perro al que estaban golpeando y, apiadándose del animal, habló de este modo:
“Deteneos, no lo golpeéis más, pues su alma es la de un amigo; lo sé porque lo
he oído hablar”».
Las inconfundibles
huellas de Pitágoras se hacen patentes no sólo en las enseñanzas de los
filósofos griegos que le sucedieron, sino que se extienden a los programas de
las universidades medievales. Las siete asignaturas que se enseñaban en estas
universidades se dividían en el trivium,
que incluía dialéctica, gramática y retórica, y el quadrivium, con los temas favoritos de los pitagóricos: geometría,
aritmética, astronomía y música. La celestial «armonía de las esferas» —la
música supuestamente interpretada por los planetas en sus órbitas que, según
sus discípulos, sólo Pitágoras era capaz de oír— ha servido de inspiración
tanto a poetas como a científicos. El famoso astrónomo Johannes Kepler
(1571-1630), que descubrió las leyes del movimiento planetario, eligió para una
de sus obras esenciales el título Harmonice
Mundi En el espíritu pitagórico, Kepler creó incluso pequeñas composiciones
musicales para los distintos planetas.
Desde la perspectiva de
las cuestiones en las que se centra este libro,[38] después de
despojar a la filosofía pitagórica de sus ropajes místicos, el esqueleto que
queda sigue siendo un potente testimonio acerca de la matemática, su naturaleza
y su relación tanto con el mundo físico como con la mente humana. Pitágoras y
los pitagóricos fueron los precursores de la búsqueda del orden cósmico. Se les
puede considerar los padres de la matemática pura ya que, a diferencia de sus
predecesores, los babilonios y los egipcios, se dedicaron a la matemática en
abstracto, fuera de cualquier finalidad práctica. La cuestión de si los
pitagóricos dejaron también establecida la función de la matemática como
herramienta de la ciencia es más peliaguda. Aunque es cierto que los
pitagóricos asociaron todos los fenómenos con números, su objeto de estudio
eran los números en sí, no los fenómenos ni sus causas. Este no era un enfoque
especialmente fructífero desde el punto de vista de la investigación científica.
Sin embargo, en la doctrina pitagórica era fundamental la creencia implícita de
la existencia de leyes generales en la naturaleza. Esta creencia, que se ha
convertido en la columna vertebral de la ciencia moderna, podría tener sus
orígenes en el concepto de Destino de
la tragedia griega. Hasta el Renacimiento, esta osada fe en la realidad de un
conjunto de leyes capaces de explicar todos los fenómenos iba mucho más allá de
las pruebas concretas, y únicamente Galileo, Descartes y Newton la convirtieron
en una afirmación defendible desde una perspectiva inductiva.
Otra de las
contribuciones esenciales que se atribuye a los pitagóricos fue el
descubrimiento aleccionador de que su propia «religión numérica» era,
lamentablemente, del todo inviable. Los números enteros 1, 2, 3…, no bastan ni
siquiera para construir la matemática, y mucho menos para una descripción del
universo. Examinemos el cuadrado de la figura 6, en el que la longitud del lado
es una unidad, y llamemos d a la
longitud de la diagonal.
Es fácil hallar esta
longitud si utilizamos el teorema de Pitágoras en cualquiera de los dos
triángulos en los que está dividido el cuadrado. Según el teorema, el cuadrado
de la diagonal (la hipotenusa) es igual a la suma de los cuadrados de los dos
lados más cortos (los catetos): d2
= l2 + l2, es decir, d2 = 2. Si se conoce el
cuadrado de un número positivo, se puede hallar el número extrayendo la raíz
cuadrada (es decir, si x2
= 9, entonces x = √9 = 3). Por tanto,
d2 = 2 implica d = √2
unidades. De modo que la relación entre la longitud de la diagonal y la del
lado del cuadrado es el número √2. Pero ahora viene la verdadera sorpresa, el
descubrimiento que derrumbó la meticulosa construcción filosófica de números
enteros de los pitagóricos. Uno de ellos (posiblemente Hipaso de Metaponto, que
vivió en la primera mitad del siglo V a.C.) fue capaz de demostrar que la raíz cuadrada de dos no se puede expresar como
relación de ninguna pareja de números
enteros.[39] En otras palabras, aunque existe una infinidad de
números enteros entre los que elegir, la búsqueda de dos de ellos cuya relación
mutua sea √2 está condenada al fracaso. Los números que sí pueden expresarse como razón de dos números enteros (por
ejemplo, 3/17, 2/5, 1/10, 6/1) se denominan números
racionales. Los pitagóricos probaron que √2 no es un número racional. De
hecho, poco después del descubrimiento original, se descubrió que tampoco lo eran
√3, √17 o la raíz cuadrada de ningún número que no fuese un cuadrado perfecto
(como 16 o 25).
Las consecuencias
fueron espectaculares: los pitagóricos mostraron que era necesario agregar a la
infinidad de los números racionales una infinidad de números de un nuevo tipo,
que hoy denominamos números irracionales.
La importancia de este descubrimiento para el desarrollo subsiguiente del
análisis matemático es fundamental. Entre otras cosas, fue el primer paso hacia
el reconocimiento de la existencia de infinitos «contables» e «incontables» en
el siglo XIX.[40] No obstante, los pitagóricos quedaron abrumados
por esta crisis filosófica, hasta el punto de que el filósofo Jámblico declaró[41]
que el hombre que descubrió los números irracionales y reveló su naturaleza a
«aquellos indignos de compartir la teoría» fue «tan odiado que no sólo fue
expulsado de la comunidad y modo de vida [de los pitagóricos], sino que incluso
se construyó una tumba para él, como si su antiguo compañero hubiese abandonado
la vida de los hombres».
Quizá aún más
importante que el descubrimiento de los números irracionales fuese la pionera
insistencia de los pitagóricos en la demostración
matemática, un procedimiento basado por completo en el razonamiento lógico
mediante el cual, a partir de algunos postulados iniciales, se podía establecer
sin ambigüedad la validez de cualquier proposición matemática. Antes de los
griegos, ni siquiera los matemáticos esperaban que nadie tuviese interés alguno
en los conflictos mentales que les habían llevado a tal o cual descubrimiento.
Era prueba suficiente que una receta matemática funcionase en la práctica (por
ejemplo, en la división de parcelas de tierra). Por el contrario, los griegos
querían explicar por qué funcionaba. Aunque puede que el concepto de
demostración fuese introducido por el filósofo Tales de Mileto (ca. 625-547
a.C.), fueron los pitagóricos los que convirtieron esta práctica en una
refinada herramienta para la determinación de verdades matemáticas.
La trascendencia de
este avance en lógica fue capital. Las demostraciones de los postulados
colocaron a la matemática sobre unos cimientos mucho más sólidos que los de
cualquier otra de las disciplinas que ocupaban a los filósofos de la época. Una
vez presentada una prueba rigurosa, basada en razonamientos paso a paso que no
permiten dejar lagunas, la validez de la declaración matemática asociada era,
básicamente, incuestionable. Incluso Arthur Conan Doyle, el creador del
detective más famoso del mundo, reconoció la categoría especial de la demostración
matemática. En Estudio en escarlata,
Sherlock Holmes declara que sus conclusiones son «tan ciertas como las
proposiciones de Euclides».
Sobre la cuestión de si
la matemática era descubierta o inventada, Pitágoras y los pitagóricos no
tenían ninguna duda: la matemática era real, inmutable, omnipresente y más
sublime que cualquier noción que fuese el posible producto de la frágil mente
humana. Para los pitagóricos, el universo estaba literalmente incrustado en la
matemática. De hecho, desde su punto de vista, Dios no era un matemático:[42]
¡la matemática era Dios!
La importancia de la
filosofía pitagórica no reside en su valor intrínseco. Al establecer el
escenario (y, en cierto modo, el orden de prioridades) de la próxima generación
de filósofos, especialmente Platón, los pitagóricos establecieron una posición
dominante en el pensamiento occidental.
Continua en
Continua en
¿Es Dios un Matemático? Mario Livio 2009 Capitulo II Místicos: el numerólogo y el filósofo (II)Platón
[19] Véase el capítulo 4
para una descripción más detallada de la aportación de Descartes. <<
[20] Descartes 1644.
<<
[21] Laercio ca. 250 d.C.;
Porfirio ca. 270 d.C.; Jámblico ca. 300 d.C. Véase Hicks 1925, Dillon y
Hershbell 1991, Taylor 1986. <<
[22] Jámblico ca. 300 d.C.;
comentado en Guthrie 1987. <<
[23] Aristóteles ca. 350
a.C. (Barnes y Lawrence 1984); comentado en Burkert 1972. <<
[24] Herodoto 440 a.C.
(Greve 1988)<<
[25] Porfirio ca. 270 d.C.
7. <<
[26] Véase Strohmeier y
Westbrook 1999 para un comentario certero de la perspectiva pitagórica.
<<
[27] Stanley 1687. <<
[28] Para una fascinante
recopilación de propiedades de los números véase Wells 1986. <<
[29] Citado en Heath 1921.
<<
[30] Jámblico ca. 300 d.C.;
comentado en Guthrie 1987. <<
[31] Strohmeier y Westbrook
1999; Stanley 1687. <<
[32] En Heath 1921 se
comenta ampliamente el término y su significado en distintas épocas. El
matemático Teón de Esmirna (ca. 70-135 d.C.) utilizaba el término en relación
con la expresión figurativa de los números descritos en el texto del libro
(Lawlor y Lawlor 1979). <<
[33] Como se puede ver, en
sus comentarios Proclo no detalla específicamente su propia opinión sobre si
Pitágoras fue el primero en formular el teorema. La historia del buey aparece
en los escritos de Laercio, Porfirio y el historiador Plutarco (ca. 46-120
d.C.) Se basa en poemas de Apolodoro. Sin embargo, los versos sólo mencionan
«esa famosa proposición» sin mencionar a qué proposición se refiere. Véase
también Hicks 1925, Dryden 1992. <<
[34] Renon y Felliozat
1947, Van der Waerden 1983. <<
[35] Esta cosmología se
basaba en la idea de que la realidad surge del hecho de que la Forma (que se
considera el límite) da forma a la Materia (que se considera indefinida).
<<
[36] Morris 1999. <<
[37] Joost-Gaugier 2006.
<<
[38] Véase Huffman 1999,
Riedweg 2005, Joost-Gaugier 2006 y Huffman 2006 en la Stanford Encyclopedia of Philosophy para obtener información sobre
las aportaciones pitagóricas y su influencia. <<
[39] Fritz l945. <<
[40] En este libro no se
tratan temas como los números transfinitos ni las obras de Cantor y Dedekind.
Aczel 2000, Barrow 2005, Devlin 2000, Rucker 1995 y Wallace 2003 son excelentes
referencias para no expertos. <<
[41] Jámblico ca. 300 d.C.
(Dillon y Hershbell 1991, Taylor 1986). <<
[42] Véase comentario en
Netz 2005. <<
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