martes, 21 de enero de 2014

Matemáticas y Juegos de azar ¿Que es la probabilidad?

¿Qué es la probabilidad?
Sea lo que sea, no es algo que se pueda ignorar. Un seguro de vida, de vivienda o de
automóvil dependen de una probabilidad que los asegurados tendrán que asumir, y
pagar. ¿Tiene usted que vacunarse contra la gripe este invierno? Deberá empezar
contraponiendo el riesgo de efectos secundarios o de una posible reacción a las
consecuencias derivadas de no vacunarse. Los miembros de un jurado sólo pueden
condenar a un acusado cuando “no hay ninguna duda razonable” de su culpabilidad.
En el sistema judicial, uno de los criterios más adecuados puede basarse en un
“balance de probabilidades”. Una persona decide comprar, o no, participaciones de
lotería por un impulso o por diversión, pero también pueden entrar en juego factores
como creer, aunque sea vagamente, en la posibilidad de ganar una suma considerable.
En los juegos de naipes, como el póquer o el bridge, se espera jugar mejor si se logra
tener una idea realista de la posibilidad de que otro jugador tenga una determinada
mano de cartas. Muchos problemas de decisión, ya sean serios o frívolos, pueden
afrontarse en mejores condiciones si se comprende el concepto de probabilidad. En
mi opinión, siempre es preferible conocer que ignorar, y una buena manera de llegar
a conocer la probabilidad consiste en familiarizarse con una serie de juegos en los
que ésta desempeña un papel relevante. 
Ser un experto en probabilidad puede no bastar para tomar decisiones acertadas. A
veces, lo único que se consigue saber es en qué nos hemos equivocado. No obstante,
por término medio, tanto en el juego como en la vida real, el proceso de toma de
decisiones mejora si somos capaces de evaluar la probabilidad de los distintos
resultados posibles. Este ensayo no es un tratado sobre la teoría de la probabilidad, sino un conjunto de planteamientos en cuya resolución intervienen argumentos
probabilísticos.

lunes, 20 de enero de 2014

Francisco Vera- Veinte matemáticos celebres Capitulo X Maurolico y Commandino

El humanismo en la matemática
La posición geográfica de Italia, cerca del Imperio bizantino, el refinamiento de su cultura y su riqueza material, fueron causas que contribuyeron grandemente a que allí se iniciase el movimiento que ha pasado a la Historia con el nombre de Humanismo, precursor de otro movimiento llamado Renacimiento, de límites ambos tan imprecisos que viven muchas veces en perfecta simbiosis.
Los humanistas, al imitar en la forma y en el fondo a los escritores de la antigüedad clásica, difundieron las ideas griegas y romanas e intentaron armonizar los conocimientos humanos con las creencias religiosas, corrigiendo el abuso silogístico y humanizando la Ciencia.
Ya Dante se había mostrado entusiasta partidario del gusto clásico dejando preparado el terreno en que Petrarca, el primer hombre moderno, habría de cosechar los mejores frutos. Su exaltado individualismo y su preocupación por el autoanálisis, le hacen el verdadero precursor del Renacimiento literario, que habría de tener un digno émulo en Boccaccio, como erudito divulgador de las ideas humanistas.
En el campo del Arte, los hombres del Quattrocento producen una revolución con la perspectiva lineal y el escorzo, con la representación del desnudo y con la tendencia realista. Brunelleschi, Donatello, el Verrochio y Botticelli preparan el advenimiento de Miguel Ángel, de Rafael y de los pintores de la escuela veneciana, como Dante, Petrarca y Boccaccio anuncian la eclosión que habrían de tener las letras con Maquiavelo, Castiglione, Guicciardini, Ariosto, Tasso y Pedro Aretino, precursor éste, de la decadencia renacentista al triunfar el arte académico, amanerado, frío y cerebral, a mediados del siglo XVII, muerto León X, y sus sucesores, conquistada ya Roma por las tropas imperiales que convirtieron su política liberal y de mecenazgo en ciega y sistemática oposición a todo lo que no pudiesen vigilar directamente y al desarrollo de la Ciencia.

Francisco Vera- Veinte matemáticos celebres Capitulo IX Lobachewski y Hamilton

Antikantiano y kantiano
Un matemático inglés de fines del siglo pasado, Clifford, ha llamado a Lobatchewsky "el Copérnico de la Geometría". Ningún título cuadra mejor, en efecto, al geómetra ruso, cuya obra es pareja a la del astrónomo polaco, pues lo que éste hizo en la Astronomía del primer tercio del siglo XVI, es análogo a lo que hizo aquél en la Geometría del primer tercio del XIX. En la Astronomía inmediatamente anterior a Copérnico existía el confusionismo reinante en toda la Mecánica pregalileana, que se nutría del jugo aristotélico, como en la Geometría inmediatamente anterior a Lobatchewsky existía el confusionismo euclídeo del que no había salido a pesar de los trabajos de los geómetras franceses de la Revolución. La dictadura filosófica del Estagirita impedía la libre investigación astronómica porque sus resultados podían poner en un aprieto algunos dogmas católicos, como la dictadura filosófica de Kant impedía la libre investigación geométrica porque sus resultados podían poner en un aprieto algunos dogmas apriorísticos. La obra de Copérnico representa el triunfo de la razón sobre la imaginación, sobre los prejuicios y sobre los sentidos, pero fue necesario que Giordano Bruno muriese en la pira para que la teoría heliocéntrica se incorporase definitivamente a la Ciencia. La obra de Lobatchewsky representa el triunfo de la razón sobre la Crítica de la razón y sobre el apriorismo espacial kantiano; pero, afortunadamente, no necesitó ningún mártir para imponerse, aunque sí tuvo que luchar contra la opinión vulgar durante más de veinticinco años y permaneció en un punto muerto porque la Europa científica de entonces ignoraba el ruso y hubo que esperar a las traducciones francesas y alemanas para que el mundo matemático la conociera. El descubrimiento de Copérnico nos enseñó a considerar el Universo bajo un nuevo aspecto, como el descubrimiento de Lobatchewsky nos enseñó a considerar la Geometría bajo un nuevo aspecto también.
¿Qué nuevo aspecto es éste? Muy sencillo. Más de veinte siglos llevaban los geómetras intentando demostrar el postulado de Euclides, pero a ninguno, excepto a Gauss que, como de costumbre, guardó el secreto se le ocurrió la sencilla idea genial que a Lobatchewsky: prescindir de la famosa proposición euclídea que afirma que por un punto exterior a una recta hay una paralela única, y construir una Geometría rigurosamente lógica como si no existiera tal postulado. Si éste era una consecuencia de los demás, debía llegarse a una contradicción, que es la prueba matemática de la falsedad. Pues bien, Lobatchewsky no sólo no llegó a ninguna contradicción, sino que se encontró con una Geometría nueva, distinta de la de Euclides, pero sin oposición lógica con ella, una Geometría que podía convivir con la griega en un sector más amplio que el que conserva el nombre primitivo aunque haya alterado su significación.

Francisco Vera- Veinte matemáticos celebres Capitulo VIII Riemann y Boole

Una revolución en geometría y un pronunciamiento en álgebra
Los matemáticos ingleses de la primera mitad del siglo XIX sólo estudiaban lo que les interesaba particular y personalmente, como para distraerse, sin dar ninguna importancia a los problemas que preocupaban al resto de Europa, separada de ellos por una cinta de mar. Además de isla geográfica, Inglaterra era una isla matemática que vivía del jugo newtoniano. Un nacionalismo estrecho le impidió aceptar las teorías dé Leibniz, y la consecuencia fue que la Matemática inglesa quedó estancada durante un siglo: exactamente hasta el año 1812, en que se fundó la Sociedad Analítica de Cambridge, que puso remedio a tan lamentable estado de cosas. Claro es que sus fundadores tuvieron que enfrentarse con políticos de ignorancia ejemplar. Sirva de muestra el siguiente botón:
A principios del siglo XVII el Ministerio, de Hacienda inglés adoptó los bastoncitos de Neper para hacer las operaciones contables. Estos bastoncitos consistían en unas tiras rectangulares de madera de unos siete centímetros de largo por ocho, milímetros de ancho, divididas en nueve cuadrados por medio de líneas transversales, cada una de las cuales estaba encabezada por una cifra, y debajo de ésta sus productos por los números dígitos, escritos en los sucesivos cuadrados de modo que si el producto tiene dos cifras, la de las decenas se coloca en el triángulo superior de los dos en que cada diagonal divide el cuadrado. Mediante una manipulación engorrosa se hacía la multiplicación de los números de varias cifras; y en cuanto a la división tan complicada que constituía una verdadera tortura, hasta el punto de que solo la abordaban hábiles calculadores. Para ente absurdo sistema de operar, la burocracia inglesa creó una nube de escribientes, tenedores de libros y actuarios que se sucedieron por generaciones en las covachuelas del Ministerio hasta que un día, en tiempo de Jorge III (1760 - 1820), un ministro "revolucionario" tuvo la audacia de incoar un expediente para saber si debían seguir llevándose las cuentas por aquel procedimiento, análogo al de Robinson para tener al día el calendario en su isla desierta o cambiarse por otro más moderno. Se levantó tal tempestad de protestas que hubo que esperar hasta el año 1826 para que se decretara la desaparición de aquellos palitroques, cuyo número había crecido tan monstruosamente durante más de un siglo, que todavía en 1834 había tal cantidad que se planteó el problema de decidir lo que se iba a hacer con ellos. A cualquiera que no fuese un político conservador inglés se le hubiera ocurrido tirarlos, pero a un tory británico lo que se le ocurrió fue llevar a Westminster aquellos pedacitos de madera apolillados y podridos como si se tratara de una reliquia.
Era tan absurdo esto que, al fin, triunfó el sentido común y se dio la orden de quemarlos, pero clandestinamente para que no se alarmaran los conservadores. Los bastoncitos fueron arrojados a una estufa de la Cámara de los Lores donde se les prendió fuego, y como la madera era viejísima ardieron tan admirablemente que las llamas prendieron en los artesonados de la Cámara de los Lores, de ésta se propagó el fuego a la de los Comunes y a Inglaterra le costó la broma varios millones de libras esterlinas.
Los matemáticos alemanes, al revés que los ingleses, tenían más amplia visión; y a partir de las Disquisitiones Aritmeticae de Gauss, que se publicaron el primer año del siglo XIX, es interminable la lista de obras originales que aparecieron hasta 1855, fecha en que muere el princeps mathematicorum y queda roto el último lazo con la Matemática de la centuria anterior.

Francisco Vera- Veinte matemáticos celebres Capitulo VII Cayley y Sylvester

Durante mucho tiempo ha sido artículo de fe la creencia en el valor de símbolos matemáticos sin sentido, creencia que ha dado lugar a verdaderos absurdos cuyo origen está en la que Enriques ha llamado "superstición del formalismo”, que nace de una falsa interpretación del principio de Hankel, según el cual toda expresión escrita con los símbolos de la Aritmética universal sigue siendo válida cuando las letras dejan de representar simples “cantidades". Hoy sabemos que esto sólo es cierto bajo ciertas condiciones. El año 1863 Weierstrass estableció el llamado teorema final de la Aritmética que demuestra la no existencia de ningún sistema de números complejos de más de dos componentes en el que el producto satisfaga todas las leyes formales de la Aritmética.
Ya el año 1858 Cayley había encontrado una extraña propiedad en el cálculo de matrices: la no conmutatividad del producto, que causó el efecto de una herejía; pero las herejías dejan de serio cuando son razonables y la de Cayley ha sido, precisamente, la base de la obra de Heisenberg que ha modificado la Mecánica ondulatoria, sustituyendo el principio de causalidad toda causa tiene un efecto, admitido como dogma científico, por el de indeterminación, que reduce a la modesta categoría de probable la certeza que orgullosamente hemos venido atribuyendo a la Ciencia.
Pero en la primera mitad del siglo XIX, las cosas pasaban de otro modo, y fueron los ingleses quienes, saliendo de su "espléndido aislamiento", las modificaron de raíz. El año 1812 Jorge Peacock, Carlos Babbage y Juan Federico Guillermo Herschell fundan en Cambridge una "Sociedad Analítica" que no tardó en hacer progresar la Matemática, encerrada hasta entonces en moldes newtonianos. Dicha sociedad fue el germen de lo que después se ha llamado escuela de los reformadores ingleses, quienes, con su característica originalidad insular, pusieron los cimientos de la actual Álgebra por postulados; y cuando el año 1841 Cayley y Sylvester crean la teoría de invariantes, de importancia capital en la Física teórica, el terreno está ya preparado para recibir la nueva semilla.

Francisco Vera- Veinte matemáticos celebres Capitulo VI Newton y Leibinz

Luchas políticas en la matemática
Uno de los debates más agrios que registra la historia de la Ciencia es el que sostuvieron Newton, Leibniz y sus respectivos partidarios sobre la prioridad del descubrimiento del Cálculo infinitesimal; y lo más curioso del caso es que el asunto en litigio no existía realmente, puesto que las investigaciones de Leibniz y de Newton eran completamente distintas.
Newton y Leibniz son dos espíritus diferentes. Newton es inglés y Leibniz alemán: Newton permanece fiel a la tradición griega, como lo demuestra el elogio que hizo del Análisis geométrico, del español Hugo de Omerique, y Leibniz sueña con una combinatoria universal, de ascendencia luliana, como estudio a priori de las diferentes combinaciones que dan origen a las operaciones aritméticas; Newton es un poco arbitrario y artificial y Leibniz es un metodista que se acerca más a Descartes que su ilustre adversario; Newton es un enamorado de lo bello y armonioso, lo que le obliga a oponerse al carácter mecánico del Álgebra y Leibniz se siente irresistiblemente atraído por el idioma universal simbólico de las generalizaciones algebraicas, que le conduce a hacer asumir al racionalismo categoría de dogma.
Para centrar la famosa polémica, recordemos brevemente la correspondencia cruzada entre ambos matemáticos durante los años 1673-1676 por intermedio de Oldenbourg, secretario de la Royal Society.

Francisco Vera- Veinte matemáticos celebres Capitulo V Descartes y Fermar

Celos mal reprimidos
La época a que se contrae este trabajo, primera mitad del siglo XVII, tiene muchos puntos de contacto con la actual. Terminaba entonces el Renacimiento, como termina hoy la Edad Moderna, en el colapso que empezó en 1914, tuvo una recidiva en 1939 y todavía no ha salido de él. En los días que vivieron Descartes y Fermat, protagonistas del presente ensayo, como en los días que vivimos, se hundía rápidamente un estado de cosas y no se había cimentado aún uno nuevo. Como hoy, el mundo estaba incómodo.
El siglo anterior había despertado al encanto de las musas griegas redescubiertas, y el ideal medieval de morir para este mundo quedó sustituido por el ideal renacentista de vivir para este mismo mundo, cumpliéndose así la exclamación del Petrarca: "Juliano renace”. Una luz inédita bañó las condiciones de vida; se exaltó el individualismo; la conciencia humana protestó contra la tiranía colectiva; Gutenberg coronó la obra de Colón y, al difundirse las ideas nuevas, todos los valores espirituales se quebrantaron. La Roma papal vio alzarse contra ella la figura de Lutero, y Francisco I de Francia, rey cristiano, combatía al católico Carlos I de España, buscaba la amistad de los protestantes de Alemania y se aliaba con los turcos.
El ansia de saber, el apetito de curiosidad que caracterizó al Renacimiento, se prolongó hasta el, siglo XVII, que es el de los grandes matemáticos, cuya primera mitad ilustran especialmente los nombres de Fermat y de Descartes.
Nace Descartes en 1596 y Fermat en 1601; muere Descartes en 1650 y Fermat en 1665. Tienen, por tanto, los dos un período común de cuarenta y nueve años: medio siglo fecundo y denso, que vio crear la Geometría Analítica con Descartes y la teoría de números con Fermat.
Ambos pertenecían a familias de parlamentarios y ambos estudiaron Jurisprudencia: Descartes en Poitiers, Fermat en Toulouse; pero éste ejerció la abogacía y aquél no. Descartes abrazó la carrera de las armas porque se aburría en París, y Fermat fue magistrado en Toulouse porque tenía espíritu burgués; Descartes fue filósofo y Fermat jurisconsulto y los dos dedicaron a la Matemática sus ratos de ocio. Nada más, ni nada menos.
Descartes publicó su Geometría como un ejemplo de su método, y su labor matemática sólo fue un episodio de su carrera de filósofo; Fermat escribió mucho, mas fue su hijo Samuel quien editó la mayor parte de sus trabajos. Ambos se dieron a conocer a través de su correspondencia con los sabios de su tiempo; pero mientras la época de Descartes ha sido adjetivada con su apellido, el nombre de Fermat, aunque parezca extraño, no aparece citado por Voltaire entre los que ilustraron el que, con evidente cortesanía, llamó siglo de Luis XIV.
Descartes y Fermat tienen de común su admiración por los griegos, franca en Fermat, oculta en Descartes. Fermat reconstruye los Lugares planos de Apolonio y traduce la Aritmética de Diofanto; Descartes quiere romper con la tradición griega, pero su obra no es, en el fondo, sino un retorno a Grecia, y ambos tienden un puente entre lo abstracto y lo concreto haciendo que la Matemática pierda su rigidez antigua para asumir una categoría intelectual independiente de toda representación empírica, y determinando un nuevo aspecto de la Geometría que proyecta su influencia sobre el monismo de Spinoza y sobre el dualismo de Malebranche, quienes inician una etapa de filosofía matemática empapada de fermatcartesianismo.

Francisco Vera- Veinte matemáticos celebres Capitulo IV Weirstrass y Sonja Kowaleeski

El maestro y la discípula
Si hay un matemático a quien se pueda calificar de analista puro, sin la más pequeña mezcla de geómetra, este matemático es Weierstrass, con quien se inicia la que se ha llamado aritmetización de la Matemática.
En su tiempo, el Análisis había hecho grandes progresos, pero era necesario coordinar las investigaciones de Gauss en Aritmética superior con la teoría de funciones elípticas de Abel y Jacobi y con la de invariantes de la escuela inglesa: labor de ordenación y sistematización que exigía un cerebro privilegiado que no sólo asimilara toda la producción analítica del siglo XVIII y buena parte del XIX, sino que, además, estuviese dotado de genio creador. Este cerebro fue Carlos Weierstrass, quien, de haber vivido en la época de Platón, se habría declarado adversario ideológico del fundador de la Academia y amigo de Eudoxio de Cnido, el sagaz crítico constructivo que tuvo la valentía de enfrentarse con el heredero espiritual de Sócrates. Sin los intelectuales ociosos que rodearon a Platón y sin las alucinaciones místicas del Timeo, la que llamamos hoy Matemática moderna hubiera empezado dos mil años antes.
La Matemática actual, la Matemática que se inicia con Weierstrass, no tiene nada de misteriosa, ni de esotérica, ni de mística, ni de mágica: Matemática al margen del idealismo platónico que, para satisfacer las necesidades emocionales de los griegos del siglo IV antes de J. C., dejó el animismo fuera de los límites de la investigación experimental inventando un mundo real de símbolos y de números, del que sólo es una sombra nuestro mundo, y afirmando que los juicios matemáticos son verdades eternas, opinión que habría de esgrimir Kant contra los materialistas de su tiempo. También es culpable Kant del retraso de la Matemática porque su consejero áulico, Segnier, era un expositor y no un investigador. Sírvale de disculpa el hecho de que cuando publicó la Crítica de la razón pura, se ignoraba aún la función no auditiva de los conductos semicirculares del oído, de cuya disposición anatómica depende el número de dimensiones del espacio; pero desde que las dos ciencias más recientes, la Biología y la Psicología experimental, con la audacia propia de la juventud, le han faltado al respeto a las creencias tradicionales, los argumentos ex mathematicis kantianosestán derogados.
En el capítulo de cargos no olvidemos tampoco a Hegel, cuyos razonamientos triangulares hicieron resucitar el culto mágico del número 3, que se creyó derrotado en el siglo XVIII cuando ya parecía olvidada la filosofía de los doctores de la Sorbona, quienes al poner la lógica aristotélica al lado de la teología católica, empezaron por admitir la trinidad de pensamiento, sentimiento y volición, que todavía no ha desaparecido por completo, y subdividieron tales potencias en tres categorías, y así sucesivamente, para colocar lo Absoluto en el vértice común de todos estos triángulos desvanecientes.
Weierstrass comprendió que era necesario podar la manigua que rodeaba a la Matemática para que ésta alcanzase su pleno desarrollo, y atacó el problema en su raíz: el número irracional, cuyo estudio comenzó en el punto en que lo había dejado Eudoxio, lo que le llevó al convencimiento de que todo el Análisis había que construirlo sobre el número entero y de que toda la Matemática tenía que hablar no el lenguaje oscuro de la filosofía hegeliana, sino el claro lenguaje de los números naturales.
Y en esto, que era en cierta forma la realización del ideal pitagórico en cuanto hipóstasis del Número, consiste uno de los méritos de Weierstrass, que hubiera bastado para incorporar su nombre a la historia de la Matemática si no tuviera, además, otros títulos que lo hacen acreedor a ello.

Francisco Vera- Veinte matemáticos celebres Capitulo III Tartaglia y Cardano

Un desafío matemático
En la época en que florecen los dos matemáticos a quienes se contrae este ensayo, había desaparecido ya la separación entre la Aritmética práctica, que se enseñaba por medio del ábaco, y la Aritmética teórica, que comprendía las propiedades de los números y las proporciones con arreglo a la tradición romana, y se hablaba de una Aritmética universal que participaba del Álgebra: Aritmética algorítmica, a cuyo desarrollo contribuyó en gran parte la difusión de los calendarios, tanto para usos eclesiásticos como astrológicos y médicos porque tenían las fechas indicadas en caracteres indios, impropiamente llamados arábigos, los cuales derrotaron definitivamente a las cifras romanas en toda Europa, excepto en Italia, hasta el siglo XV, a pesar de ser ésta la cuna de la Aritmética mercantil, una de cuyas primeras conquistas fue el sistema de contabilidad por partida doble, y a pesar de los esfuerzos de Leonardo de Pisa, que dedica un capítulo de su famoso Líber Abacci a cantar las excelencias de los diez guarismos, incluyendo el cero: quod arabice zephirum apellatur.
Triunfante, al fin, la enumeración india y destruida la barrera que separaba las dos Aritméticas, renace el Álgebra sincopada que desde Diofanto de Alejandría, su verdadero iniciador, había permanecido en estado larval durante la Edad Media.
Aprovechando las fuentes árabes de origen indio y prescindiendo de las inspiradas en las obras didácticas griegas, que no sólo no sustituyen el cálculo de cantidades por combinaciones imaginadas con éstas, sino que tampoco explican ni aun las fórmulas de las áreas, por medio de la medida de sus magnitudes, las reglas del Álgebra extraían su demostración de las construcciones geométricas.
Como concepción sintética de la Matemática, el Álgebra es una técnica de cálculo sin contenido, un método Matemático por excelencia, en el sentido luliano, cuyo papel se reduce a asociar elementos simples de tal modo que, formando progresivamente compuestos cuya estructura es cada vez más complicada, tiende a hacer inútil la inteligencia y a reducir el razonamiento a reglas que se dejan aplicar Sucesivamente, pero como auxiliar de la Geometría, produjo frutos en el Renacimiento dando una fisonomía especial a la ciencia de Euclides y actuando sobre ella de un modo influyente para su desarrollo ulterior, a pesar de la pesadez, inelegancia y laboriosidad con que se aplicaba; y cuando, aparecen en la historia de la Matemática Tartaglia y Cardano, el Álgebra sincopado sigue siendo una ciencia de origen árabe dedicada al estudio sistemático de las ecuaciones o regla de la cosa, así llamada por haberse dado a la incógnita el nombre de res, cosa, que los algebristas de la época representaban por una R. La x con que hoy se representa es de origen cartesiano.
Dos hechos casi simultáneos influyeron poderosamente en el progreso que inicia entonces el Álgebra: la invención de la imprenta y la toma de Constantinopla por los turcos.  Gracias a los griegos cultos que huyeron de la invasión otomana, el Occidente europeo conoció a los grandes matemáticos antiguos cuyas obras habían sido desfiguradas por los copistas o por los traductores árabes; y los originales griegos, sustraídos al pillaje turco y multiplicados por el arte de Gutenberg, fueron la fuente purísima en que calmaron su sed de saber los matemáticos renacentistas.
Los escritores contaban en la Edad Media con un número reducidísimo de lectores a consecuencia de la escasez de las copias, y los hombres de ciencia no tenían ningún centro de reunión, a diferencia de los de los tiempos clásicos, que lo tuvieron en Alejandría, de modo que puede decirse que la imprenta inaugura la época moderna, lo mismo desde el punto de vista político que científico; el Renacimiento se caracteriza por una gran actividad en todas las ramas del saber, y el descubrimiento de América y las discusiones que precedieron a la Reforma inundan Europa de ideas nuevas que la imprenta difundió.

Francisco Vera- Veinte matemáticos celebres Capitulo II Monge y Fourier

Dos amigos de Napoleón
El parto mellizo del Cálculo Infinitesimal, en la segunda mitad del siglo XVII, produjo tal revolución en el Análisis que todos los matemáticos del siglo XVIII se apercibieron a investigar en la rama analítica, dando de lado a la geométrica que permanecía estacionaria desde Pascal, discípulo de Desargues, que es verdadero precursor de los estudios modernos de la Geometría por la Geometría.
Y cuando el año 1795 inicia Gaspar Monge sus conferencias sobre el sistema diédrico en la Escuela Normal Superior de París, Europa no tiene, en realidad, más que un solo geómetra digno de este nombre: Jorge Juan, a quien sus contemporáneos llamaban "el sabio español" por antonomasia, y cuyo perfil matemático fue dibujado por Antonio Sánchez Pérez en un artículo periodístico, recogido después en sus Actualidades de Antaño, Madrid, 1895.
Dice Sánchez Pérez: "Euler, primer matemático de la humanidad, publicó una notabilísima obra titulada Ciencia Naval en 1749, época en que el sabio había llegado al apogeo de su gloria. Quien sepa que los primeros trabajos que dieron celebridad a Euler versan ya sobre cuestiones navales, comprenderá hasta qué punto se había esmerado en dicha obra y cuántos años de afanes representaba. Ahora bien, en 1771, publica Jorge Juan su Examen marítimo y asombra al mundo. Empieza por observar que los geómetras que le han precedido han admitido con ligereza algunas proposiciones de los nuevos principios de filosofía natural, y los corrige. Necesita más conocimientos de mecánica que los que hay en su época y crea la mayor parte de la mecánica de los sólidos. Corregido Newton, creada así casi por completo la nueva ciencia, empieza a rehacer la ciencia antigua, y tiene que abandonar el camino seguido por sus predecesores. Así llega, por fin, a fórmulas que concuerdan perfectamente con la experiencia. Para probar el rigor de sus teorías crea otra que, si bien carece de importancia práctica, la tiene muy grande para los que aprecian la ciencia por la ciencia: esta es la teoría de los voladores o cometas. La opinión del mundo sabio se había rebelado contra las conclusiones de todos les geómetras. Habla Jorge Juan y la Europa calla. Y, sin embargo, el autor del Examen señala a cada geómetra sus errores; y en cuanto a los de Newton, los hace recaer sobre las Academias que, con su autoridad, sostenían la de Newton. Levéque traduce el Examen al francés y la Academia de París obtiene del Gobierno el privilegio de la publicación."

Francisco Vera- Veinte matemáticos celebres Capitulo I Abel y Galois

Los dos matemáticos más jóvenes de la historia
Este ensayo está dedicado a dos matemáticos ilustres entre los más ilustres, geniales entre los más geniales, conocidos, naturalmente, de todos los que se dedican a la Matemática; pero desconocidos, en general, de los no matemática, por la sencilla razón de que las creaciones, que tal es el nombre adecuado a sus partos sublimes, caen en el campo del Análisis, disciplina al margen de los estudios básicos de la cultura media.
Las vidas de estos dos matemáticos son vidas poco extensas y muy intensas, que vale la pena divulgar; vidas ligeramente asincrónicas, pero de tal paralelismo que están pidiendo la pluma de un nuevo Plutarco que sepa, además, calar hondo en los recovecos psicológicos de la personalidad humana. Son dos vidas pequeñitas: de veinte años la una, de veintiséis la otra; pero la una produce una teoría de grupos que invade hoy todas las ramas de la Matemática y empieza a invadir la Física; la otra produce un teorema que "abre un nuevo” capítulo en la historia del Álgebra, y las dos están llenas de episodios que, como los de la, vida de Nuestro Señor Don Quijote, unas veces nos hacen reír y otras veces nos hacen llorar. Aludo a Galois y a Abel, muertos ambos en plena juventud. Los segmentos que gráficamente, representan sus vidas tienen un trozo superpuesto que dura dieciocho años: desde 1811, fecha del nacimiento de Galois, hasta 1829, fecha de la muerte de Abel, trozo que constituye, al propio tiempo, uno de los períodos más densos de la historia de Europa: período de revoluciones políticas, de luchas filosóficas, de mejoramientos económicos, de adelantos científicos y de ansias de libertad en la plena eclosión romántica del primer tercio del siglo XIX.
En ente ambiente nació, vivió y murió Galois y este ambiente respiró también Abel durante sus viajes por el centro de Europa, cuando hasta los fríos fiordos de su Noruega natal aún no habían llegado las chispas encendidas del romanticismo: esa brillante rosa pomposa cultivada en los jardines amables de Francia patria de Galois- como reacción contra el falso idealismo de la época inmediatamente anterior.
Niels-Henrik Abel nació en el presbiterio de Findö, diócesis de Cristiansad, el 5 de agosto de 1802, y era hijo de Soren-Georg Abel y de Ana María Simonsen. Al año de nacer Niels-Henrik su padre fue nombrado pastor de Gjerrestad, donde el pequeño aprendió las primeras letras y donde permaneció hasta 1815, fecha de su ingreso en la escuela catedralicia de Cristianía.
Cuando Abel tenía nueve años nace Evaristo Galois en Bourg-la-Reine el 25 de octubre de 1811.

domingo, 19 de enero de 2014

Niels Henrik Abel

Niels Henrik Abel (1802-1829) fue uno de los matemáticos más sobresalientes del siglo XIX y probablemente el genio más destacado que han visto nacer los países escandinavos. Junto con sus contemporáneos Gauss y Cauchy, Abel fue uno de los pioneros en el desarrollo de la matemática moderna, caracterizada por su insistencia en el rigor de las demostraciones. Su carrera fue una acerba mezcla de optimismo pleno de humor bajo la opresión de la pobreza y la negligencia, modesta satisfacción por los muchos descubrimientos de alto nivel en su breve madurez, y paciente resignación frente a una muerte temprana.

   Abel fue uno de los seis hijos de la familia de un pobre pastor rural noruego. Su enorme capacidad no pasó inadvertida por uno de sus profesores, quien le animó, cuando tenía sólo dieciséis años, a cultivarla, de modo que pronto se encontró leyendo y comprendiendo las obras de Newton, Euler y Lagrange. A título de comentario sobre esta experiencia, insertó en uno de sus cuadernos de notas de matemáticas algún tiempo después esta frase al margen: «Creo que si uno quiere progresar en matemáticas debe estudiar a los maestros, no a los discípulos».

   Cuando Abel tenía 18 años, murió su padre, dejando a la familia desvalida. Subsistieron merced a la ayuda de amigos y vecinos y, de un modo u otro, con las contribuciones de varios profesores, el muchacho pudo ingresar en la Universidad de Oslo en 1821. Sus primeras investigaciones, publicadas en 1823, incluían la solución del clásico problema de la tautócrona por medio de la ecuación integral antes discutida. Fue la primera solución de una ecuación de esta clase y abrió el camino al formidable desarrollo de las ecuaciones integrales en el siglo XIX y comienzos del XX. Probó asimismo que la ecuación general de quinto orden no es resoluble por radicales, al contrario de lo que sucede con la de cuarto orden, zanjando así un problema que había tenido en jaque a los matemáticos durante 300 años. La demostración apareció en un pequeño panfleto costeado a sus expensas.

   En su desarrollo científico, Abel pronto se dio cuenta de que Noruega se le había quedado pequeña, y anhelaba visitar Francia y Alemania. Con el respaldo de sus amigos y profesores, solicitó una ayuda estatal y, tras los consabidos papeleos y demoras, recibió una beca para efectuar un periplo por el continente. La mayor parte del primer año la pasó en Berlín, donde tuvo la fortuna de entrar en contacto con August Leopold Crelle, un entusiasta matemático aficionado que se convirtió en su principal amigo, consejero y protector. A su vez, Abel inspiró a Crelle al lanzamiento de su famoso Journal für die Reine und Angewandte Mathematik, que fue la primera revista dedicada por completo a las matemáticas editada en el mundo. Los tres primeros volúmenes contaron en sus páginas con 22 artículos de Abel.

   La formación matemática previa de Abel había estado relacionada por completo con la tradición formal del siglo XVIII, tipificada por Euler. En Berlín pasó a situarse bajo la influencia de la nueva escuela de pensamiento liderada por Gauss y Cauchy, con énfasis en las demostraciones rigurosas por contraposición a los cálculos formales. Exceptuada la gran obra de Gauss acerca de las series hipergeométricas, resultaría harto difícil encontrar una sola demostración en análisis en esa época que fuera admitida hoy por aceptable. Como Abel expresaba en una carta a un amigo: «Si olvidamos los casos muy, muy simples, no hay una sola serie infinita en matemáticas cuya suma haya sido establecida en forma rigurosa. En otras palabras, las partes más importantes de las matemáticas carecen de fundamentos». En este periodo escribió su clásico estudio de la serie del binomio, en el que sentaba las bases de la teoría general de convergencia y daba la primera demostración rigurosa de la validez de ese desarrollo en serie.

   Abel había enviado su panfleto sobre la ecuación de quinto orden a Gauss a Göttingen, confiando que le sirviera a modo de pasaporte científico. Sin embargo, por alguna razón, Gauss lo dejó de lado sin mirarlo, ya que se halló sin cortar entre sus papeles tras su muerte 30 años después. Por desgracia para ambos, Abel se sintió rechazado y decidió ir a París sin visitar a Gauss.

   En París se encontró con Cauchy, Legendre, Dirichlet y otros, pero sus encuentros fueron superficiales y no se le llegó a reconocer su auténtica valía. Ya había publicado unos cuantos trabajos en el Journal de Crelle, pero los franceses no estaban al tanto todavía de esa revista de reciente aparición y Abel era demasiado tímido para hablar de su propia obra a personas a las que apenas conocía. Poco tiempo después de su llegada terminó su gran Mémoire des Fonctions Transcendantes, que él consideraría como su obra maestra. En ella aparece el descubrimiento relativo a las integrales de funciones algebraicas, conocido hoy como teorema de Abel, y es la base de la teoría posterior de las integrales abelianas, las funciones abelianas y buena parte de la geometría algebraica. Décadas más tarde, Hermitte parece haber comentado sobre esa Mémoire: «Lo que Abel ha legado a los matemáticos es suficiente para tenerles ocupados durante 500 años». Jacobi describió el teorema de Abel como el mayor hallazgo en cálculo integral del siglo XIX. Abel envió su manuscrito a la Academia de Francia, en la esperanza de que le haría ganar cierto renombre entre los matemáticos franceses, más esperó en vano, hasta que se quedó sin fondos y hubo de volver a Berlín. Lo que sucedió fue lo siguiente: se encargó a Cauchy y Legendre que examinaran el manuscrito; Cauchy se lo llevó a su casa, lo traspapeló y se olvidó por completo de él; no se publicó hasta 1841, aunque volvió a perderse de nuevo el manuscrito antes de que fueran corregidas las pruebas. El original apareció finalmente en Florencia en 1952. En Berlín, Abel terminó su primer artículo revolucionario sobre las funciones elípticas, un asunto que le había ocupado durante varios años y entonces regresó a Noruega, fuertemente endeudado.

   Confiaba ser nombrado, a su regreso, profesor en la Universidad, pero una vez más sus esperanzas se vieron defraudadas. Subsistió dando clases particulares y logró en un corto periodo de tiempo un puesto de profesor interino. Durante este periodo trabajó incesantemente, en especial en la teoría de las funciones elípticas que había descubierto como inversas de las integrales elípticas. Esta teoría pronto se abrió paso como uno de los campos principales del análisis del siglo XIX, con numerosas aplicaciones en teoría de números, física matemática y geometría algebraica. Entretanto, la fama de Abel se había propagado por todos los centros de matemáticas de Europa y figuraba entre la elite de los matemáticos de todo el mundo, pero en su aislamiento no tenía noticias de todo ello. A comienzos de 1829 la tuberculosis contraída en el transcurso de sus viajes había progresado hasta el punto de que era incapaz de trabajar, y en la primavera de ese mismo año murió, a la edad de 26 años. Ironía póstuma del destino, poco después de su muerte, Crelle le comunicaba que sus esfuerzos habían dado fruto y que Abel había sido propuesto para ocupar la cátedra de matemáticas de Berlín.

   En su panegírico, Crelle hablaba de Abel en el Journal en estos términos: «Toda la obra de Abel lleva la impronta de un ingenio y una potencia de pensamiento asombrosa. Cabe afirmar que fue capaz de penetrar todos los obstáculos hasta los fundamentos mismos de los problemas, con una fuerza que se nos antoja irresistible…Se distinguió también por la pureza y nobleza de su carácter y por una rara modestia que le hizo ser una persona tan apreciada como genial». Los matemáticos, no obstante, disponen de medios propios para recordar a sus grandes figuras, y por eso hablamos de la ecuación integral de Abel, de integrales y funciones de Abel, de grupos abelianos, de series de Abel, de la fórmula de sumación parcial de Abel, y de la sumabilidad de Abel. Pocos han visto su nombre adscrito a tantos conceptos y teoremas en la matemática moderna. Lo que hubiera podido llegar a hacer en una vida de duración normal está más allá de toda conjetura.

(Texto extraído de “Ecuaciones diferenciales” de George F. SimmonsEd. Mc Graw Hill)

Evariste Galois

Evariste Galois nació en Bourg-la-Reine, un pequeño pueblo al sur de París, el 25 de Octubre de 1811, apenas veintidós años después de la Revolución Francesa. Galois, como Sophie Germain, creció durante un periodo de inmensa convulsión, pero mientras Germain se aisló de la agitación de la Revolución Francesa y se concentró en las matemáticas, Galois se encontró repetidamente  en el centro de la controversia política, que no sólo lo distrajo de una brillante carrera académica sino que lo llevó a su muerte prematura.

   Además del malestar general que afectaba la vida de todo el mundo, Galois manifestó interés por la política, inspirado por su padre, Nicolás-Gabriel Galois. Cuando Evariste tenía apenas cuatro años su padre fue electo alcalde de Bourg-la-Reine. Esto ocurrió durante el regreso triunfal de Napoleón al poder, un periodo en que los fuertes valores liberales de su padre estaban en sintonía con el estado de ánimo de la nación.

   A los doce años Evariste Galois fue a su primer colegio, el Liceo de Luis el Grande, una institución prestigiosa pero autoritaria. Para comenzar, no encontró cursos de matemáticas, y su rendimiento académico era respetable pero no destacado. Sin embargo, durante su primer año de estudios ocurrió un evento que habría de cambiar el curso de su vida. El colegio había sido previamente un colegio jesuita, y comenzaron a circular rumores de que el establecimiento volvería a manos de los jesuitas. Durante ese periodo hubo una lucha permanente entre los republicanos y los monárquicos para influir sobre la balanza del poder entre Luis XVIII y los representantes del pueblo, y la influencia creciente de los sacerdotes era vista como indicio de un viraje en contra del pueblo  y a favor del rey. Los estudiantes del Liceo, que en su mayoría simpatizaban con los republicanos, planearon una rebelión, pero el director del colegio, Monsieur Berthod, descubrió el complot e inmediatamente expulsó a los doce conspiradores. Al día siguiente, cuando Berthod exigió a los demás estudiantes una demostración de lealtad con el rey, éstos se rehusaron a brindar por Luis XVIII, después de lo cual otros cien estudiantes fueron expulsados. Galois era demasiado joven para estar involucrado en la frustrada reunión, así que permaneció en el Liceo. Sin embargo, el ver a sus compañeros humillados de esta manera exacerbó sus tendencias republicanas.

   No fue sino a los dieciséis años cuando Galois asistió a su primera clase de matemáticas, un curso que, en la opinión de sus profesores, lo transformó de un estudiante concienzudo a revoltoso. Los informes del colegio muestran que ignoró todas las otras materias y se concentró solamente en su recién encontrada pasión.

Este estudiante sólo trabaja en los estratos más altos de las matemáticas. La locura matemática domina a este muchacho. Creo yo que lo mejor sería que sus padres lo dejaran estudiar sólo esto. De otra manera está desperdiciando su tiempo aquí, y no hace sino atormentar a sus profesores y abrumarse de castigos.

   El deseo de Galois por las matemáticas pronto sobrepasó las capacidades de su profesor así que aprendía directamente de los últimos libros escritos por los expertos de la época. Rápidamente absorbió los conceptos más complejos, y por la época que cumplió diecisiete años publicó su primer trabajo en los Annales de Gergonne. El camino parecía despejado para el prodigio, excepto que su misma brillantes habría de ser el mayor obstáculo a su progreso. Aunque sabía más que suficientes matemáticas para aprobar los exámenes del Liceo, las soluciones de Galois eran tan innovadoras y sofisticadas que sus examinadores no las entendieron. Para empeorar las cosas, Galois hacía tantos cálculos en la cabeza que no se molestaba en consignar por escrito sus procedimientos, lo que dejaba a los ineptos examinadores aún más perplejos y frustrados.

   El joven genio no ayudaba a la situación pues su temperamento exacerbado y su impetuosidad alejaba a tutores y a cualquiera que se cruzara en su camino. Cuando Galois solicitó ingresar en la Ècole Polytechnique, la universidad más prestigiosa del país, su brusquedad y la falta de explicaciones en el examen oral le costaron el rechazo. Galois estaba ansioso por entrar al Polytechnique, no sólo por su excelencia académica sino también por su reputación de ser líder del activismo republicano. Un año más tarde volvió a solicitar el ingreso, y de nuevo sus saltos lógicos en el examen oral solamente sirvieron para confundir a su examinador, Monsieur Dinet. Al sentir que estaba a punto de reprobar por segunda vez, y frustrado de que su brillantez no fuera reconocida, Galois perdió el genio y golpeó a Dinet con el borrador del tablero. Galois no habría de regresar jamás a los sagrados salones del Polytechnique.

   Sin desanimarse por los rechazos, Galois mantuvo la confianza en su talento matemático y continuó con sus propias investigaciones privadas. Su interés principal tenía que ver con encontrar soluciones a ecuaciones tales como las cuadráticas. Las ecuaciones cuadráticas tienen la forma:

                       a + bx + c = 0      donde a, b y c tienen cualquier valor

El reto es encontrar los valores de x para los cuales la ecuación cuadrática es verdadera. Los matemáticos prefieren tener una receta para encontrar las soluciones que depender del ensayo y error.

   En el siglo XIX los matemáticos tenían también recetas que podían utilizarse para encontrar soluciones a las ecuaciones cúbicas y cuartas, pero no se conocía ningún método para encontrar soluciones de la ecuación de quinto grado.

   Galois se obsesionó con la idea de encontrar una receta para resolver las ecuaciones de quinto grado, uno de los grandes retos de la época, y a los diecisiete años ya había progresado lo suficiente como para presentar dos trabajos de investigación a la Academia de Ciencias. El moderador que se nombró para juzgar los trabajos fue Augustin-Louis Cauchy. Cauchy quedó bastante impresionado con el trabajo del joven y lo juzgó merecedor de participar en el Gran Premio de Matemáticas de la Academia. Con el fin de calificar para la competencia los dos trabajos tenían que ser presentados de nuevo como un solo trabajo, así que Cauchy se los devolvió a Galois y esperó a que los regresara.

   Después de haber sobrevivido a las críticas de sus profesores y al rechazo de la École Polytechnique, la genialidad de Galois estaba a punto de ser reconocida, pero en el curso de los siguientes tres años una serie de tragedias personales y profesionales destruirían sus ambiciones. En julio de 1829 un nuevo sacerdote jesuita llegó al pueblo de Bourg-le-Reine donde el padre de Galois era todavía el alcalde. El sacerdote se indignó con las inclinaciones republicanas de éste e inició una campaña para desbancarlo, a punta de difamaciones. En particular, el intrigante sacerdote se aprovechó de la fama de Nicolás-Gabriel Galois como compositor de rimas ingeniosas. Escribió una serie de versos vulgares ridiculizando a miembros de la comunidad y los firmó con el nombre del alcalde. Galois padre no pudo soportar la pena y la vergüenza que resultó de ello y decidió que la única opción honorable era el suicidio.

   Evariste Galois regresó para asistir al funeral de su padre y pudo ver por sí mismo las divisiones que el cura había creado en el pueblo. A su regreso a París, Galois reunió en uno solo sus trabajos de investigación, con bastante antelación a la fecha límite, y se lo entregó al secretario Joseph Fourier, quien debía pasárselo al comité evaluador. El trabajo de Galois no ofrecía una solución a la ecuación de quinto grado pero sí un enfoque brillante, y muchos matemáticos, entre ellos Cauchy, lo consideraron un probable ganador. Para sorpresa de Galois y sus amigos, no sólo no ganó el premio sino que no había sido inscrito oficialmente. Fourier había muerto unas pocas semanas antes de las deliberaciones y, aunque una pila de trabajos inscritos fueron entregados al comité, el de Galois no estaba entre ellos. Nunca apareció, injusticia que fue registrada por un periodista francés:

El año pasado, antes del primero de marzo, Monsieur Galois le entregó al secretario del Instituto una memoria acerca de la solución de ecuaciones numéricas. Esta memoria debió haber sido inscrita en la competencia por el Gran Premio de Matemáticas. Merecía el premio, pues resolvía algunas dificultades que Lagrange no había podido resolver. Monsieur Cauchy había concedido los más grandes elogios al autor acerca de esta materia. ¿Y qué pasó? La memoria está perdida y el premio se concede sin la participación del joven sabio.   

                                                                                              LE GLOBE, 1831

   Galois sintió que su memoria la habían extraviado en forma deliberada por una Academia políticamente parcializada. Esta creencia se reforzó un año más tarde, cuando la Academia rechazó su siguiente manuscrito sosteniendo que “su argumento no es suficientemente claro ni ha sido suficientemente desarrollado para permitirnos juzgar su rigor”. Decidió que había una conspiración para excluirlo de la comunidad matemática, y como resultado descuidó sus investigaciones para dedicarse a pelear por la causa republicana. A estas alturas era estudiante de la Ècole Normale Supèrieure, una universidad un poco menos prestigiosa que la Ècole Polytechnique. En la Ècole Normale, la mala fama de Galois como agitador estaba sobrepasando su reputación como matemático. Esto culminó durante la revolución de julio  de 1830 cuando Carlos X huyó de Francia y las facciones políticas lucharon por el control de las calles de París. El director de la Ècole, Monsieur Guigniault, un monárquico, estaba consciente de que la mayoría de sus estudiantes eran republicanos radicales, así que los recluyó en sus dormitorios y cerró con llaves las puertas de la universidad. Se estaba impidiendo que Galois luchara al lado de sus hermanos, y su frustración e ira se exacerbaron cuando los republicanos fueron finalmente derrotados. Cuando surgió la oportunidad, Galois escribió un feroz ataque contra el director de la universidad, acusándolo de cobardía. No es de sorprenderse que Guigniault expulsara al estudiante insubordinado, con lo que llegó a su fin la carrera formal de matemáticas de Galois.

   El 4 de diciembre, el frustrado genio intentó convertirse en un rebelde profesional al unirse a la Artillería de la Guardia Nacional, una rama republicana de la milicia conocida también como “los amigos del pueblo”. Antes que terminara el mes, el nuevo rey, Louis-Phillipe, ansioso de evitar otra rebelión, abolió la Artillería de la Guardia Nacional, y Galois quedó en la indigencia y sin hogar. Al más brillante talento joven de todo París lo perseguían sin cesar, y algunos de sus antiguos colegas matemáticos estaban cada vez más preocupados por su suerte. La tímida Sophie Germain, quien por entonces era la más destacada entre los matemáticos franceses, le expresó sus preocupaciones a un amigo de la familia, el conde Libri-Carucci:

Definitivamente hay un infortunio acerca de todo lo que tiene que ver con las matemáticas. La muerte de Monsieur Fourier ha sido el golpe final para este estudiante Galois quien, a pesar de su impertinencia, mostraba señales de una disposición brillante. Ha sido expulsado de la Ècole Normale, no tiene dinero, su madre tiene muy poco y él continúa con el hábito del insulto. Dicen que se va a volver completamente loco. Me temo que esto es verdad.

Mientras que la pasión de Galois por la política continuara, era inevitable que su destino se deteriorara todavía aun más, hecho que fue documentado por el gran escritor francés Alejandro Dumas. Dumas estaba en el restaurante Vendanges des Bourgogne, donde por coincidencia había un banquete de celebración en honor de diecinueve republicanos absueltos de cargos de conspiración:

De repente, en medio de una conversación privada con la persona que tenía yo a mi izquierda, el nombre de Louis-Phillippe, seguido de cinco o seis silbidos, llamó mi atención. Me di la vuelta. Una de las más animadas escenas se estaba llevando a cabo a unas quince o veinte sillas de mí. Sería difícil encontrar en todo París doscientas personas más hostiles al gobierno que las que estaban reunidas a las cinco de la tarde en el largo corredor del primer piso sobre el jardín.
   Un hombre joven que había levantado su copa y llevaba un puñal desnudo en la misma mano intentaba hacerse oír; Evariste Galois era uno de los más fervientes  republicanos. El ruido era tal
que la propia razón del ruido se había vuelto incomprensible. Todo lo que yo pude percibir era que había una amenaza y que el nombre de Louis-Phillippe había sido mencionado: la intención había quedado clara con el cuchillo desnudo.
   Esto iba mucho más allá de mis propias opiniones republicanas. Cedí a la presión de mi vecino de la izquierda quien, por ser uno de los cómicos del rey, no quería verse comprometido, y saltamos de la ventana al jardín. Me fui a casa algo preocupado. Estaba claro que este episodio tendría sus consecuencias. En efecto, dos o tres días más tarde, Evariste Galois fue arrestado.

   Después de que lo detuvieran en la prisión de Sainte-Pèlagie durante un mes, Galois fue acusado de amenazar la vida del rey y llevado a juicio. Aunque por sus actos había pocas dudas de que era culpable, debido a la naturaleza escandalosa del banquete nadie pudo realmente  confirmar que lo había oído hacer alguna amenaza directa. Un jurado comprensivo y la tierna edad del rebelde –apenas tenía veinte años-llevaron a su absolución. Al mes siguiente fue arrestado de nuevo.

   En marzo de 1832, un mes antes de que terminara la sentencia de Galois, se desató una epidemia de cólera en París y los prisioneros de Sainte-Pèlage fueron puestos en libertad. Lo que le sucedió a Galois durante las siguientes semanas ha sido objeto de intensa especulación, pero lo que parece cierto es que los eventos de este periodo fueron en buena parte consecuencia de un romance con una misteriosa mujer llamada Stéphanie-Félicine Poterine du Motel, la hija de un respetado médico parisino. Aunque no hay pistas sobre cómo comenzó el romance, los detalles de su trágico final están bien documentados.

   Stéphanie estaba comprometida con un caballero llamado Pescheux ďHerbinville, quien descubrió la infidelidad de su novia. ďHerbinville estaba furioso y, siendo como era uno de los mejores tiradores de Francia, no vaciló en retar inmediatamente a Galois a un duelo al amanecer. Galois estaba muy consciente de la reputación de su rival. Durante la noche anterior al enfrentamiento, que él creía sería la última oportunidad de dejar por escrito sus pensamientos, les escribió a sus amigos explicándoles sus circunstancias:

Suplico a mis compatriotas, a mis amigos, que no me reprochen el morir por una causa distinta a la de mi país. He muerto víctima de una coqueta infame y sus dos embaucadores. Es por una miserable calumnia que termino mi vida. ¡Ah! ¿Porqué morir por algo tan pequeño, tan despreciable? Pido al cielo que sea testigo de que sólo bajo coacción y a la fuerza he cedido a la provocación que he tratado de evitar por todos los medios.

   A pesar de su devoción por la causa republicana y su enredo romántico, Galois siempre había conservado su pasión por las matemáticas, y uno de sus más grandes temores era que sus investigaciones, que ya habían sido rechazadas por la Academia, se perdieran para siempre. En un intento desesperado por obtener el reconocimiento, trabajó toda la noche escribiendo los teoremas que él creía explicaban completamente el enigma de las ecuaciones de quinto grado. Las páginas en su mayor parte son una transcripción de las ideas que ya había presentado a Cauchy y Fourier, pero escondidas dentro del álgebra compleja había referencias ocasionales a “Stéphanie” o “una femme” y exclamaciones de desesperación: ¡No tengo tiempo, no tengo tiempo! Al final de la noche, cuando sus cálculos quedaron completos, escribió a su amigo Auguste Chevalier una carta explicativa en la que le solicitaba que, si él moría, su trabajo fuera distribuido entre los grandes matemáticos de Europa:

Mi querido amigo:

He hecho algunos descubrimientos acerca del análisis. El primero tiene que ver con la teoría de las ecuaciones de quinto grado y otras funciones integrales.
   En la teoría de las ecuaciones he investigado las condiciones para poder resolver las ecuaciones por radicales; esto me ha dado la ocasión para profundizar esta teoría y describir todas las transformaciones posibles de una ecuación, aunque ésta no se pueda resolver por radicales...Todo esto se puede encontrar aquí en tres memorias.
   En mi vida me he atrevido a menudo a hacer proposiciones acerca de las cuales no estaba seguro. Pero todo lo que he escrito aquí ha estado claro en mi cabeza por más de un año, y no sería a mi favor que quedara la sospecha de que anuncio teoremas de los cuales no tengo una demostración completa.
   Haga una solicitud pública para que Jacobi o Gauss den su opinión, no acerca de la verdad sino de la importancia de estos teoremas. Después de esto, espero que alguien encuentre beneficioso ponerle orden a tal enredo.
   Lo abrazo efusivamente
                                                                                            E. GALOIS

A la mañana siguiente, miércoles 30 de mayo de 1832, en un campo solitario, Galois y ďHerbinville se enfrentaron el uno al otro a una distancia de 25 pasos y armados con pistola. ďHerbinville iba acompañado de padrinos; Galois estaba solo. No le había contado a nadie de su situación: un mensajero que había enviado a donde su hermano Alfred no entregaría la noticia del duelo hasta que éste hubiera ocurrido, y las cartas que había escrito la noche anterior no llegarían a sus amigos antes de varios días.

   Levantaron las pistolas y dispararon; ďHerbinville siguió de pie, Galois recibió un tiro en el estómago. Yacía indefenso en el piso. No había médico a la mano y el vencedor calmadamente abandonó el lujar, dejando morir a su oponente herido. Algunas horas después Alfred llegó al lugar y llevó a su hermano al hospital Cochin. Era muy tarde, se había desarrollado una peritonitis y al día siguiente Galois murió.

   Los dolientes estaban furiosos porque se fortalecía la creencia de que ďHerbinville no era un novio engañado sino un agente del gobierno, y de que Stéphanie no era simplemente una amante sino una seductora intrigante. Eventos como el tiro que le dispararon a Galois mientras estaba en la cárcel ya apuntaban a una conspiración para asesinar al joven agitador así que sus amigos llegaron a la conclusión de que había sido embaucado en un romance que era parte de un complot político diseñado para matarlo.

   Antes de divulgar los papeles de Galois su hermano y Auguste Chevalier los escribieron de nuevo con el fin de clarificar y ampliar las explicaciones. El hábito de Galois de explicar sus ideas apresurada e inadecuadamente fue sin duda exacerbado por el hecho de que tenía apenas una noche para resumir varios años de investigación. Aunque diligentemente enviaron copias del manuscrito a Carl Gauss, Carl Jacobi y otros, no hubo reconocimiento al trabajo de Galois durante más de una década, hasta que una copia llegó a manos de Joseph Liouville en 1846.

   Liouville reconoció la chispa de la genialidad en los cálculos y pasó varios meses tratando de interpretar su significado. Finalmente editó los trabajos y los publicó en su prestigioso Journal de Mathématique pures et Appliquées. La respuesta de otros matemáticos fue inmediata e impresionante porque Galois había, en efecto, formulado una teoría completa sobre cómo encontrar soluciones a las ecuaciones de quinto grado. Primero, Galois había clasificado todas las ecuaciones de quinto grado en dos tipos, las que pueden resolverse y las que no. Luego ideó, para las primeras, una receta que permite encontrar sus soluciones. Es más, Galois examinó ecuaciones de órdenes superiores al quinto, y pudo identificar cuáles de estas tienen solución. Era una de las obras maestras de la matemática del siglo XIX, creada por uno de sus héroes más trágicos.

   En el corazón de los cálculos de Galois estaba un concepto conocido como teoría de grupos, una idea que él convirtió en una poderosa herramienta capaz de resolver problemas anteriormente irresolubles. En matemática, un grupo es un conjunto de elementos que se pueden combinar entre sí utilizando alguna operación, tal como la multiplicación o la adición, y que satisfacen ciertas condiciones. Una importante propiedad definitoria de un grupo es que, cuando dos elementos cualesquiera se combinan utilizando la operación, el resultado es otro elemento del grupo. En tal caso se dice que este es cerrado respecto de la operación.

(Texto extraído de “El último teorema de Fermat” de Simon Singh – Grupo Editorial Norma)

Matemáticas en movimiento

Se puede comprobar fácilmente que Newton y Kepler modelaron sus órbitas planetarias de una manera esencialmente geométrica. Sin embargo, las elipses en sí no tienen existencia física en el espacio; son tan sólo senderos invisibles trazados por un planeta en órbita. Así pues, resultaba muy útil encontrar una herramienta matemática que pudiera describir los planetas en movimiento más que construir sus trayectorias geométricamente, punto por punto. Pero aquellos que intentaron crear la transición a partir de una secuencia de movimientos rectilíneos hacia una trayectoria verdadera resucitaron los problemas de lo infinito y de lo infinitesimal.

   Antes de detenernos en la invención del cálculo, es necesario considerar los primeros intentos realizados para solucionar los problemas de las áreas y las tangentes. Este «precálculo» se encuentra ya en Arquímedes, quien desarrolló dos métodos para encontrar áreas enmarcadas por líneas curvas, a menudo citados como métodos geométricos y mecánicos. Uno de los problemas más famosos que nos legaron los antiguos fue la cuadratura del círculo, es decir, encontrar el cuadrado que tiene la misma área que un círculo dado. En su breve tratado Sobre la medición de los círculos, Arquímedes prueba dos importantes resultados: el primero, que el área de un círculo es igual a la de un triángulo rectángulo cuya base sea el perímetro del círculo y cuya altura sea el radio de ese mismo círculo, equivalente a la fórmula πr², pero sin la necesidad de expresar π de manera explícita. El segundo resultado relevante fue la prueba de que el valor numérico de π estaba entre 3 1/7 y 3 10/71. En ambos casos, el método geométrico utilizado fue dibujar los polígonos inscriptos y circunscriptos del círculo; doblando repetidamente el número de lados de cada polígono, vemos que se acercan cada vez más a la circunferencia del círculo.

   No sólo eso, sino que los dos polígonos tienden a acercarse entre sí, como si emparedaran al círculo, así que si se prosigue el proceso ad infinitum (lo que los matemáticos llaman «en el límite»), las áreas de los polígonos tienden hacia el área del círculo. Para encontrar el valor π, Arquímedes empezó con los hexágonos inscriptos y circunscriptos, y finalizó el proceso tras encontrar un polígono de noventa y seis caras, aunque podría haber continuado hasta haber encontrado cualquier nivel de precisión previamente establecido. El procedimiento era justificado al emplear el método de exhausción, atribuido a Eudoxo, pero Arquímedes evitó la afirmación de que los polígonos, de algún modo, se convertían en el círculo, apoyándose en un extenso argumento lógico. Esta reticencia es comprensible, pues evitaba una especie de salto de fe necesario para pasar de un polígono a un círculo, que, para los griegos, eran dos tipos de objetos muy diferentes.

   A principios del siglo XVII, creció el interés por generar diferentes curvas y descubrir sus longitudes, las áreas y volúmenes generados al hacerlas rotar. Este interés provenía de toda una variedad de intereses mecánicos tanto a nivel estático como dinámico. Establecer matemáticamente el centro de gravedad de un objeto era importante, pues concernía a su estabilidad y éste, obviamente, era uno de los temas esenciales de materias como la arquitectura o la construcción de barcos. Los métodos utilizados cabían esencialmente dentro de las dos categorías de Arquímedes, pero poco a poco se empezó a pensar que, a pesar de sus problemas lógicos, los métodos que implicaban números indivisibles o infinitesimales en cierta forma producían resultados correctos de manera más sencilla a como lo hacían los métodos geométricos.

   Los matemáticos ya no pudieron evitar el tratar con los conceptos de infinitud e infinitesimales, las Escila y Caribdis de la matemática griega. Kepler utilizó métodos infinitesimales para calcular el área que describía un planeta en una órbita elíptica. De manera más imprevisible, en un libro titulado Stereometria doliorum (1615), calculó el volumen de un tonel de vino utilizando una infinidad de partes infinitesimales. Galileo creía en la existencia real del infinito, citando como ejemplo el círculo como un polígono con un infinito número de lados. En el mismo periodo, Bonaventura Cavalieri (1598-1647), un alumno de Galileo y profesor de matemáticas en Bolonia desde 1629, publicó un voluminoso tomo, de casi setecientas páginas, sobre los métodos para encontrar áreas y volúmenes. Su Geometría indivisibilibus continuorum (1635) analiza diferentes métodos de indivisibles, manipulando áreas como si éstas estuvieran compuestas por líneas indivisibles y volúmenes como si estuvieran compuestos por áreas indivisibles. El resultado fue una fórmula para el área bajo curvas con la forma y = xⁿ para cualquier valor entero de n.

   Observemos ahora los desarrollos del precálculo para encontrar las tangentes de las curvas. Pierre de Fermat desarrolló ciertos resultados importantes, pero no los publicó formalmente, confiando, por el contrario, en su difusión a través de la red de correspondencias matemáticas orquestada por Marin Mersenne. Fermat desarrolló métodos para encontrar tangentes de cualquier punto de una curva polinómica, así como para establecer sus máximos y sus mínimos. También redescubrió las reglas de Cavalieri para las áreas bajo curvas con la forma y = xⁿ, ampliándolas para que la n pudiera ser tanto positiva como negativa. El único caso anómalo era n = - 1, para el que sabemos que se requiere una función logarítmica. Los métodos empleados por Fermat están muy cerca de los hoy utilizados en el cálculo diferencial, excepto que Fermat no utilizó el concepto de límite. En ninguno de los escritos de Fermat sobre el análisis infinitesimal se hace mención del aspecto clave de este nuevo análisis: que el cálculo de tangentes y el de áreas son esencialmente inversos entre sí. Tampoco intenta usar esos métodos en otras funciones.

   El conjunto de los métodos de precálculo pronto formó parte de una nueva rama de las matemáticas. Como en muchos otros casos en la historia, lo que se llega a convertir en revolucionario parece a menudo estar en el aire, simplemente esperando que alguien lo atrape y le dé una forma concreta. En este caso, la invención del cálculo se adjudica a dos hombres: Isaac Newton y Goddfried Leibniz. Como en cualquier invención compartida, siempre existe la persistente duda de que uno de los dos fue el primero, y el ambiente de una disputa de prioridades recorrió Europa.

    En 1669, Newton escribió De Analysi per aequationes numero terminorum infinitas, en el que trató series de potencias infinitas de la misma forma que las series finitas, y posteriormente amplió el teorema del binomio a cualquier potencia racional. En De Analysi encontramos un método similar al de Fermat, pero más potente debido al uso de series infinitas. También fue la primera vez en la que el hallazgo de un área bajo una curva era presentado explícitamente como lo inverso a encontrar la tangente. En 1671 escribió otro artículo sobre lo que en aquel momento denominaba fluxiones y fluentes. En su trabajo presentaba las cantidades x e y como algo que fluía respecto del tiempo.

   Su primera explicación pública aparece en ciertos pasajes áridos y difíciles de seguir de los Principia, de 1687. Los Principia en sí parecen prescindir del cálculo, pues Newton muestra toda su física matemática en términos geométricos. Esta terca renuncia a publicar tal vez se pueda explicar por una aversión a las controversias públicas y a las disputas que podrían haber provocado sus escritos.

   En los Principia hay una sección titulada «El método de las primeras y las últimas proporciones de cantidades», que proporciona demostraciones geométricas del cálculo diferencial e integral, y otra sección enumera resultados de lo que él llama «el momento de cualquier genitum», que ahora podemos denominar el diferencial de un término. Esta fue la primera expresión pública del nuevo cálculo; no resulta sorprendente que, aparte de unos pocos matemáticos, fuese infravalorado por la comunidad científica. Newton fue desde las pruebas geométricas a los resultados generales sin pasar por las manipulaciones algebraicas. Él admite en el texto que dicha demostración tal vez sea más fácil de presentar, pero siguió opinando que el hecho de demostrar mediante indivisibles descansa sobre unos fundamentos endebles. Newton no fue la primera persona en manejar la diferenciación y la integración, sino que fue el primero en crear un sólido marco de referencia en el que las dos operaciones eran inversas entre sí y, gracias a su trabajo sobre las series infinitas, extendió enormemente el ámbito de las funciones que podían ser utilizadas.

   Aunque el cálculo de Leibniz también se desarrolló a partir del análisis de series, después adquirió una forma diferente: le fascinaron las sumas de series infinitas. Mientras, en París, había solucionado el problema de la suma de las series telescópicas, representadas por el término general 2 / [n (n + 1)]. Leibniz reescribió inteligentemente esta fórmula como la diferencia  entre dos términos, o sea, 2 [1/n-1 /(n+1)], pues sólo escribiendo los primeros términos se hace obvio que todos ellos quedan cancelados, excepto el primero y el último. Ampliando la suma a un número infinito de términos se consigue la solución 2.

   Leibniz jugueteó con muchas otras series, ganando experiencia a la hora de decidir si convergían o divergían. Entonces se dio cuenta de que el problema de encontrar la tangente de una curva se solucionaba encontrando la razón de las diferencias en ordenadas y abscisas, los valores de x e y, convertidas en infinitamente pequeñas, y que las áreas dependían de la suma de las ordenadas, o de rectángulos infinitamente  estrechos que creaban el área bajo la curva. Al igual que en las sumas y las diferencias trabajó también en series numéricas que eran inversas unas de otras; así, los problemas de la tangente y el área eran también inversos. Todo pivotaba sobre el triángulo infinitesimal característico, el mismo triángulo que Newton describía como la «razón de las cantidades evanescentes». El concepto clave de Leibniz era el diferencial dx como un pequeño cambio infinitesimal en el valor de x. Para una función y = f(x), la tangente viene dada por dy/dx y el área por ∫ y dx. La notación para la integral también puede ser entendida como la afirmación de que es la suma de los rectángulos de lados y y dx.

   Los manuscritos de Leibniz datan de 1675, pero los publicó, tras unos pocos cambios en la notación, en 1684, junto a un segundo artículo en 1686, ambos en el periódico Acta eruditorum, que había cofundado. Encontramos en ellos los teoremas estándar de cálculo, incluido el teorema fundamental del cálculo: que la diferenciación y la integración son procesos inversos. Leibniz puso énfasis en que el nuevo cálculo proporcionaba un algoritmo universal para resolver los problemas de la tangente y del área para todas las funciones, incluyendo las trascendentes, un término acuñado por Leibniz para denotar funciones, como sen x y ln x, que se pueden expresar como series infinitas de potencias pero que no son soluciones a ecuaciones algebraicas.

   Los resultados obtenidos por Leibniz eran similares a los que Newton había obtenido pero que no había publicado. La disputa que surgió a raíz de las afirmaciones de primacía en la invención del cálculo amargó los últimos años de sus vidas.

(Textos extraídos de “Historia de las Matemáticas” de Richard Mankiewicz – Ediciones Paidós Ibérica SA).